Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 81 стр.

     Èç ñâîéñòâà ïîòåíöèàëüíîñòè ëàïëàñîâà ïîëÿ ñëåäóåò, ÷òî â
îäíîñâÿçíîé îáëàñòè îíî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñêàëÿðíûì
                                           ρ
ïîòåíöèàëîì u, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ a = − grad u . Ïîäñòàâ-
                                  ρ
ëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå div a = 0 , ïîëó÷àåì divgrad u = 0
èëè
                                ∆u = 0 ,                      (3.15)

             ∂2 ∂2 ∂2
ãäå ∆ = ∇2 = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 — îïåðàòîð Ëàïëàñà (ëàïëàñèàí). Óðàâ-
íåíèå (3.15) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà.
Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u(x,y,z), äâàæäû íåïðåðûâíî
             äèôôåðåíöèðóåìàÿ è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ
             Ëàïëàñà, íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé.
     Ïðèìåðû ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé:
          • u = C;
          • u = ax + by + cz + d;
          • u = xyz;
          • u = xy + xz + yz;
          • u = x2 — y2.
     Ðåøåíèå âñåõ çàäà÷ íàñòîÿùåãî ðàçäåëà ïðåäïîëàãàåòñÿ â
äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.

                               Çàäà÷è
    • Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ãàðìîíè÷åñêèìè ñëåäóþùèå ñêà-
ëÿðíûå ïîëÿ, â êîòîðûõ
                    ρ = x 2 + y2 , r = x 2 + y2 + z 2 :
      3.43. u = ln ρ ;                     3.45. u = ln r ;
       3.44. u = 1 / ρ ;                 3.46. u = 1 / r .
      `3.47. Çàêîí Ôóðüå óòâåðæäàåò, ÷òî ïëîòíîñòü òåïëîâîãî
                       ρ ρ
             ïîòîêà j = en dQ / ( dSdt ) â äàííîé òî÷êå âåùåñòâà ïðî-
             ïîðöèîíàëüíà ãðàäèåíòó òåìïåðàòóðû â ýòîé òî÷êå:
             ρ
              j = − λ∇T , ãäå λ — êîýôôèöèåíò, íàçûâàåìûé òåï-
            ëîïðîâîäíîñòüþ âåùåñòâà. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â îá-



                                   81