Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

83
3.58. Äîêàçàòü, ÷òî
∂
∂
π
nr
dS
1
000
=
÷
÷
∫∫
0, если повер хность S не охваты вает то ку
-4 , если пов ер хно сть S охватывает то ку (0,0,0).
(,,),
3.59. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ
ãàðìîíè÷åñêèì â îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõ-
íîñòüþ S, òî
u
u
n
dS u dV
VS
∂
∂
=∇
∫∫∫∫∫
()
2
,
ãäå ∂/∂n — ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S.
3.60. Äîêàçàòü, ÷òî
∆
ρρρ
aaa=−grad(div ) rot(rot )
,
ãäå
∆∆ ∆ ∆
ρ
aaaa
xyz
= { ( ), ( ), ( )}
.
3.61. Âû÷èñëèòü
∆()
ρρ
cr×
, ãäå
ρ
c
— ïîñòîÿííûé âåêòîð.
Çàäà÷ó ðåøèòü:
a) êîîðäèíàòíûì ìåòîäîì;
á) ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (3.17).
3.62. Äîêàçàòü, ÷òî
∆(()) ( / )urr u u rr
ρρ
=′′+′4
.
    3.58. Äîêàçàòü, ÷òî

   ∂  1      0, если поверхность S не охватывает то ÷ ку (0,0,0),
∫∫ ∂n  r  dS = - 4π , если поверхность S охватывает то ÷ ку (0,0,0).
    3.59. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ
          ãàðìîíè÷åñêèì â îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõ-
          íîñòüþ S, òî
                            ∂u
                        ∫∫ u ∂n dS = ∫∫∫ (∇u)2 dV ,
                        S            V

          ãäå ∂/∂n — ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S.
                               ρ                 ρ          ρ
    3.60. Äîêàçàòü, ÷òî ∆a = grad(div a ) − rot(rot a ) ,
                ρ
          ãäå ∆a = {∆( a x ), ∆( a y ), ∆( a z )} .
                            ρ ρ                 ρ
    3.61. Âû÷èñëèòü ∆( c × r ) , ãäå c — ïîñòîÿííûé âåêòîð.
          Çàäà÷ó ðåøèòü:
          a) êîîðäèíàòíûì ìåòîäîì;
          á) ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (3.17).
                                      ρ                   ρ
    3.62. Äîêàçàòü, ÷òî ∆( u( r )r ) = ( u ′′ + 4u ′ / r )r .




                                   83

Страницы