Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

84
4. ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ
ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ
4.1. Ïîíÿòèå î êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ
Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà ÷èñåë (q
1
, q
2
, q
3
), âûáèðàåìàÿ ïî êàêî-
ìó-ëèáî ïðàâèëó, íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè
Ì, åñëè ìåæäó ýòîé òðîéêîé è ïîëîæåíèåì òî÷êè Ì â ïðîñòðàí-
ñòâå ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.
Åñëè ýòè òðè ÷èñëà îïðåäåëèòü êàê ðàññòîÿíèÿ ñ ñîîòâåò-
ñòâóþùèìè çíàêàìè îò òî÷êè Ì äî òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêó-
ëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, òî, ïîëîæèâ q
1
=x, q
2
=y, q
3
=z, ïîëó÷èì
ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè Ì.
Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â ïðîñòðàí-
ñòâå óäîáíåå çàäàâàòü êàêîé-ëèáî äðóãîé òðîéêîé ÷èñåë, áîëåå
ñîîòâåòñòâóþùåé ñèììåòðèè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Íàèáîëåå ðàñ-
ïðîñòðàíåííûìè ñðåäè òàêèõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ
öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ.
 öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â
ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òðîéêîé ÷èñåë:
• q
1
=
ρ
— ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî îñè z (
ρ
≥ 0);
• q
2
=
ϕ
— óãîë ïîâîðîòà ïîëóïëîñêîñòè (
ρ
, z) îòíîñè-
òåëüíî îñè x (0 ≤
ϕ
≤ 2
π
);
• q
3
=z — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè (x, y)
(-∞ < z < ∞).
Ñâÿçü öèëèíäðè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè âèä-
íà èç ðèñ. 16:
x
y
zz
=
=
=
ρϕ
ρϕ
cos ,
sin ,
.
(4.1)
 ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â ïðî-
ñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òðîéêîé ÷èñåë:
• q
1
=r — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî íà÷àëà êîîðäèíàò
(r ≥ 0);
• q
2
=
θ
— óãîë ìåæäó ëó÷îì r è îñüþ z (ïîëÿðíûé
óãîë) (0 ≤
θ
≤
π
);
    4. ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ
               ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ

          4.1. Ïîíÿòèå î êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ
     Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà ÷èñåë (q1, q2, q3), âûáèðàåìàÿ ïî êàêî-
ìó-ëèáî ïðàâèëó, íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè
Ì, åñëè ìåæäó ýòîé òðîéêîé è ïîëîæåíèåì òî÷êè Ì â ïðîñòðàí-
ñòâå ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.
     Åñëè ýòè òðè ÷èñëà îïðåäåëèòü êàê ðàññòîÿíèÿ ñ ñîîòâåò-
ñòâóþùèìè çíàêàìè îò òî÷êè Ì äî òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêó-
ëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, òî, ïîëîæèâ q1 = x, q2 = y, q3 = z , ïîëó÷èì
ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè Ì.
     Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â ïðîñòðàí-
ñòâå óäîáíåå çàäàâàòü êàêîé-ëèáî äðóãîé òðîéêîé ÷èñåë, áîëåå
ñîîòâåòñòâóþùåé ñèììåòðèè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Íàèáîëåå ðàñ-
ïðîñòðàíåííûìè ñðåäè òàêèõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ
öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ.
      öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â
ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òðîéêîé ÷èñåë:
          • q1 = ρ — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî îñè z (ρ ≥ 0);
          • q2 = ϕ — óãîë ïîâîðîòà ïîëóïëîñêîñòè (ρ, z) îòíîñè-
            òåëüíî îñè x (0 ≤ ϕ ≤ 2π);
          • q3 = z — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè (x, y)
            (-∞ < z < ∞).
     Ñâÿçü öèëèíäðè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè âèä-
íà èç ðèñ. 16:

                          x = ρ cos ϕ ,
                          
                           y = ρ sin ϕ ,                 (4.1)
                          z = z.
                          
      ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â ïðî-
ñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òðîéêîé ÷èñåë:
         • q1 = r — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî íà÷àëà êîîðäèíàò
            (r ≥ 0);
         • q2 = θ — óãîë ìåæäó ëó÷îì r è îñüþ z (ïîëÿðíûé
            óãîë) (0 ≤ θ ≤ π);


                                84

Страницы