Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 82 стр.

        ëàñòè V íåò èñòî÷íèêîâ òåïëà, òî òåìïåðàòóðíîå ïîëå
        T (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì â ýòîé îáëàñòè.
3.48.   Âû÷èñëèòü ∆r :
        a) íà ïëîñêîñòè;
        á) â ïðîñòðàíñòâå.
3.49.   Âû÷èñëèòü ∆r 2 :
3.50.   Âû÷èñëèâ ∆r n, ïîêàçàòü, ÷òî ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ
        u = rn ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé òîëüêî ïðè n = -1.
                                                      ρ      ρ
3.51.   Ïðè êàêîé ôóíêöèè u(r) âåêòîðíîå ïîëå a = u( r )r
        áóäåò ëàïëàñîâûì â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ?
3.52.   Âû÷èñëèâ ∆u (ρ), íàéòè îáùèé âèä ãàðìîíè÷åñêîãî
        öèëèíäðè÷åñêîãî ïîëÿ u (ρ).
3.53.   Âû÷èñëèâ ∆u (r), íàéòè îáùèé âèä ãàðìîíè÷åñêîãî
        ñôåðè÷åñêîãî ïîëÿ u (r).
3.54.   Äîêàçàòü, ÷òî åñëè u è v — äâà ñêàëÿðíûõ ïîëÿ, òî
        ∆(uv) = u∆v + v∆u + 2 (∇u⋅∇v). Äîêàçàòåëüñòâî âûïîë-
        íèòü êîîðäèíàòíûì è ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäàìè.
3.55.   Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ
        ãàðìîíè÷åñêèì â îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõ-
        íîñòüþ S, òî
                                ∂u
                           ∫∫ ∂n dS = 0 ,
                            S

      ãäå ∂/∂n — ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S.
3.56. Ïóñòü u (x, y, z) — äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöè-
      ðóåìàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè V, îãðàíè÷åí-
      íîé ïîâåðõíîñòüþ S. Äîêàçàòü, ÷òî
                       ∂u
                   ∫∫ ∂n dS = ∫∫∫ ∆udV         .       (3.16)
                   S                  V

3.57. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé
      ïîâåðõíîñòüþ S,
                            ∂
                       ∫∫ ∂n (r 2 )dS = 6V ,
                       S

        ãäå ∂/∂n — ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè
        S.




                                     82