Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

85
• q
3
=
ϕ
— óãîë ïîâîðîòà ïîëóïëîñêîñòè (r, z) îòíîñè-
òåëüíî îñè x (àçèìóòàëüíûé óãîë) (0 ≤
ϕ
< 2
π
).
Ñâÿçü ñôåðè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè ïðîñëå-
æèâàåòñÿ íà ðèñ. 17:
xr
yr
zr
=
=
=
sin cos ,
sin sin ,
cos .
θϕ
θϕ
θ
(4.2)
Ðèñ. 16 Ðèñ. 17
Èç îïðåäåëåíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî êàæ-
äàÿ èç âåëè÷èí q
1
, q
2
, q
3
äîëæíà ÿâëÿòüñÿ ôóíêöèåé ðàäèóñà-âåê-
òîðà
ρ
r
òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå. À òàê êàê ðàäèóñ-âåêòîð
ρ
r
âïîëíå
îïðåäåëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè òî÷-
êè, òî êàæäàÿ èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
òðåõ äåêàðòîâûõ:
q
1
=q
1
(x, y, z), q
2
=q
2
(x, y, z), q
3
=q
3
(x, y, z).
È îáðàòíî — êàæäàÿ èç òðåõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèåé òðåõ îáîáùåííûõ:
x=x (q
1
, q
2
, q
3
), y=y (q
1
, q
2
, q
3
), z=z (q
1
, q
2
, q
3
).
Äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ïîñëåäíèå ïåðå-
õîäû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè (4.1) è (4.2).
Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, íà êîòîðûõ êàæäàÿ èç êîîðäè-
íàò èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå: q
1
(x, y, z) =C
1
,
         • q3 = ϕ — óãîë ïîâîðîòà ïîëóïëîñêîñòè (r, z) îòíîñè-
           òåëüíî îñè x (àçèìóòàëüíûé óãîë) (0 ≤ ϕ < 2π).
     Ñâÿçü ñôåðè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè ïðîñëå-
æèâàåòñÿ íà ðèñ. 17:

                           x = r sin θ cos ϕ ,
                           
                            y = r sin θ sin ϕ ,                (4.2)
                           z = r cos θ .
                           




                     Ðèñ. 16                         Ðèñ. 17
      Èç îïðåäåëåíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî êàæ-
äàÿ èç âåëè÷èí q1, q2, q3 äîëæíà ÿâëÿòüñÿ ôóíêöèåé ðàäèóñà-âåê-
      ρ                                                               ρ
òîðà r òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå. À òàê êàê ðàäèóñ-âåêòîð r âïîëíå
îïðåäåëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè òî÷-
êè, òî êàæäàÿ èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
òðåõ äåêàðòîâûõ:
            q1 = q1 (x, y, z), q2 = q2 (x, y, z), q3 = q3 (x, y, z).
È îáðàòíî — êàæäàÿ èç òðåõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèåé òðåõ îáîáùåííûõ:
          x = x (q1, q2, q3), y = y (q1, q2, q3), z = z (q1, q2, q3).
Äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ïîñëåäíèå ïåðå-
õîäû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè (4.1) è (4.2).
Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, íà êîòîðûõ êàæäàÿ èç êîîðäè-
             íàò èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå: q1 (x, y, z) = C1,



                                    85

Страницы