Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

86
q
2
(x, y, z) =C
2
, q
3
(x,y,z) =C
3
— íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàò-
íûìè ïîâåðõíîñòÿìè â ñèñòåìå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò.
 öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè
ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå:
•
ρ
= const — êðóãîâûå öèëèíäðû ñ îñüþ, ëåæàùåé
íà îñè z;
•
ϕ
= const — ïîëóïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü z
ïîä óãëîì
ϕ
ê îñè x;
• z = const — ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z .
 ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ÿâëÿ-
þòñÿ ñëåäóþùèå:
• r = const — ñôåðû ñ öåíòðîì â òî÷êå Î;
•
θ
= const — êðóãîâûå ïîëóêîíóñû ñ âåðøèíîé â òî÷-
êå Î; îñè ýòèõ ïîëóêîíóñîâ ñîâïàäàþò ñ îñüþ z, à
îáðàçóþùèå èìåþò óãîë
θ
ñ îñüþ z;
•
ϕ
= const — ïîëóïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü z
ïîä óãëîì
ϕ
ê îñè x.
Ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ êàæäîé ïàðû êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñ-
òåé îáðàçóþò êîîðäèíàòíûå ëèíèè â ñèñòåìå îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò.
Îïðåäåëåíèå. Ëèíèè â ïðîñòðàíñòâå, âäîëü êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ
òîëüêî êîîðäèíàòà q
1
, íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè
ëèíèÿìè (q
1
); àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàò-
íûå ëèíèè (q
2
) è (q
3
).
 öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþò-
ñÿ ñëåäóþùèå:
• ëèíèè (
ρ
) — ëó÷è, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z ñ íà÷à-
ëîì íà ýòîé îñè;
• ëèíèè (
ϕ
) — îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè íà îñè z, ïåð-
ïåíäèêóëÿðíûå ýòîé îñè;
• ëèíèè (z) — ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè z (ðèñ. 18).
 ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþòñÿ
ñëåäóþùèå:
• ëèíèè (r) — ëó÷è, âûõîäÿùèå èç òî÷êè Î;
• ëèíèè (
θ
) — ìåðèäèàíû íà ñôåðå;
• ëèíèè (
ϕ
) — ïàðàëëåëè íà ñôåðå (ðèñ. 19).
            q2 (x, y, z) = C2, q3(x,y,z) = C3 — íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàò-
            íûìè ïîâåðõíîñòÿìè â ñèñòåìå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò.
      öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè
ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå:
          • ρ = const — êðóãîâûå öèëèíäðû ñ îñüþ, ëåæàùåé
            íà îñè z;
          • ϕ = const — ïîëóïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü z
            ïîä óãëîì ϕ ê îñè x;
          • z = const — ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z .
      ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ÿâëÿ-
þòñÿ ñëåäóþùèå:
          • r = const — ñôåðû ñ öåíòðîì â òî÷êå Î;
          • θ = const — êðóãîâûå ïîëóêîíóñû ñ âåðøèíîé â òî÷-
            êå Î; îñè ýòèõ ïîëóêîíóñîâ ñîâïàäàþò ñ îñüþ z, à
            îáðàçóþùèå èìåþò óãîë θ ñ îñüþ z;
          • ϕ = const — ïîëóïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü z
            ïîä óãëîì ϕ ê îñè x.
     Ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ êàæäîé ïàðû êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñ-
òåé îáðàçóþò êîîðäèíàòíûå ëèíèè â ñèñòåìå îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò.
Îïðåäåëåíèå. Ëèíèè â ïðîñòðàíñòâå, âäîëü êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ
            òîëüêî êîîðäèíàòà q1, íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè
            ëèíèÿìè (q1); àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàò-
            íûå ëèíèè (q2) è (q3).
      öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþò-
ñÿ ñëåäóþùèå:
          • ëèíèè (ρ) — ëó÷è, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z ñ íà÷à-
            ëîì íà ýòîé îñè;
          • ëèíèè (ϕ) — îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè íà îñè z, ïåð-
            ïåíäèêóëÿðíûå ýòîé îñè;
          • ëèíèè (z) — ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè z (ðèñ. 18).
      ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþòñÿ
ñëåäóþùèå:
          • ëèíèè (r) — ëó÷è, âûõîäÿùèå èç òî÷êè Î;
          • ëèíèè (θ) — ìåðèäèàíû íà ñôåðå;
          • ëèíèè (ϕ) — ïàðàëëåëè íà ñôåðå (ðèñ. 19).




                                 86

Страницы