Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

88
Öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ïðèìå-
ðàìè îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò. Áàçèñîì
öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òðîéêà åäèíè÷íûõ âçàèìíî
îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ (îðòîâ)
ρ
e
ρ
,
ρ
e
ϕ
,
ρ
e
z
(ðèñ. 18), à áàçèñîì
ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû — òðîéêà
ρ
e
r
,
ρ
e
θ
,
ρ
e
ϕ
(ðèñ. 19).
Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé âñÿêîé êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû Ëàìý H
1
, H
2
, H
3
, âõîäÿùèå
â ðàçëè÷íûå âûðàæåíèÿ è îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà â êðè-
âîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Äëÿ ýëåìåíòîâ ãåîìåòðèè â îáîáùåí-
íûõ êîîðäèíàòàõ (q
1
, q
2
, q
3
) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
1) ýëåìåíòû äëèí äóã êîîðäèíàòíûõ ëèíèé:
dl
i
=H
i
dq
i
(i = 1, 2, 3);
2) ýëåìåíòû ïëîùàäè êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé:
dS
1
=dl
2
dl
3
=H
2
H
3
dq
2
dq
3
, dS
2
=dl
1
dl
3
=H
1
H
3
dq
1
dq
3
,
dS
3
=dl
1
dl
2
=H
1
H
2
dq
1
dq
2
;
3) ýëåìåíò îáúåìà: dV = dl
1
dl
2
dl
3
=H
1
H
2
H
3
dq
1
dq
2
dq
3
.
 ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (
ρ
,
ϕ
, z) êîýôôè-
öèåíòû Ëàìý H
1
= 1, H
2
=ρ
, H
3
= 1, è òîãäà:
dl d
ρ
ρ
=
,
dl d
ϕ
ρϕ
=
,
dl dz
z
=
;
dS d dz
ρ
ρϕ
=
,
dS d dz
ϕ
ρ
=
,
dS d d
z
=
ρρϕ
;
dV d d dz=
ρρϕ
.
 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r,
θ
,
ϕ
) êîýôôèöèåíòû Ëàìý
H
1
= 1, H
2
=ρ
, H
3
=r sin
θ
, è òîãäà:
dl dr
r
=
,
dl rd
θ
θ
=
,
dl r d
ϕ
θϕ
=
sin
;
dS r d d
r
=
2
sin
θθϕ
,
dS r drd
θ
θϕ
=
sin
,
dS rdrd
ϕ
θ
=
;
dV r drd d
=
2
sin
θθϕ
.
4.2. Ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà
Ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ âåêòîðíûõ ïîëåé èç äåêàðòîâîé ñèñ-
òåìû â êàêóþ-ëèáî îáîáùåííóþ (èëè íàîáîðîò) íåîáõîäèìî çà-
äàâàòü íå òîëüêî ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò òèïà (4.1)
     Öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ïðèìå-
ðàìè îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò. Áàçèñîì
öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òðîéêà åäèíè÷íûõ âçàèìíî
                                       ρ ρ ρ
îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ (îðòîâ) eρ , eϕ , e z (ðèñ. 18), à áàçèñîì
                                     ρ ρ ρ
ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû — òðîéêà er , eθ , eϕ (ðèñ. 19).
     Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé âñÿêîé êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû Ëàìý H1, H2, H3, âõîäÿùèå
â ðàçëè÷íûå âûðàæåíèÿ è îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà â êðè-
âîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Äëÿ ýëåìåíòîâ ãåîìåòðèè â îáîáùåí-
íûõ êîîðäèíàòàõ (q1, q2, q3) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
         1) ýëåìåíòû äëèí äóã êîîðäèíàòíûõ ëèíèé:
            dli = Hidqi (i = 1, 2, 3);
         2) ýëåìåíòû ïëîùàäè êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé:
            dS1 = dl2dl3 = H2H3dq2dq3, dS2 = dl1dl3 = H1H3dq1dq3,
            dS3 = dl1dl2 = H1H2dq1dq2;
         3) ýëåìåíò îáúåìà: dV = dl1dl2dl3 = H1H2H3dq1dq2dq3.
      ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (ρ, ϕ, z) êîýôôè-
öèåíòû Ëàìý H1 = 1, H2 = ρ, H3 = 1, è òîãäà:
                    dl ρ = dρ , dlϕ = ρdϕ , dl z = dz ;
              dS ρ = ρdϕdz , dSϕ = dρdz , dS z = ρdρdϕ ;
                            dV = ρdρdϕdz .
      ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r, θ, ϕ) êîýôôèöèåíòû Ëàìý
H1 = 1, H2 = ρ, H3 = r sinθ, è òîãäà:
                 dl r = dr , dlθ = rdθ , dlϕ = r sin θ dϕ ;
        dSr = r 2 sin θ dθ dϕ , dSθ = r sin θ drdϕ , dS ϕ = rdrdθ ;
                         dV = r 2 sin θ drdθdϕ .

                    4.2. Ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà
     Ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ âåêòîðíûõ ïîëåé èç äåêàðòîâîé ñèñ-
òåìû â êàêóþ-ëèáî îáîáùåííóþ (èëè íàîáîðîò) íåîáõîäèìî çà-
äàâàòü íå òîëüêî ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò òèïà (4.1)




                                    88

Страницы