Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 89 стр.

èëè (4.2), íî è ôîðìóëû ïåðåõîäà èç îäíîãî áàçèñà â äðóãîé:
  ρ ρ ρ                 ρ ρ ρ
( e x , e y , e z ) ↔ ( e 1 , e2 , e3 ) . Â îáùåì âèäå ïðåîáðàçîâàíèå áàçèñà äå-
êàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â áàçèñ îáîáùåííîé ñèñòå-
     ρ ρ ρ
ìû ( e 1 , e2 , e3 ) äàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:

               ρ    1  ∂x ρ ∂y ρ ∂z ρ 
               ek =        e +   e +   e
                    Hk  ∂qk x ∂qk y ∂qk z  , k = 1, 2, 3,                   (4.3)

ãäå H1, H2, H3 — êîýôôèöèåíòû Ëàìý äàííîé îáîáùåííîé ñèñ-
òåìû êîîðäèíàò. Äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû ïîäñòàíîâêà (4.1)
â (4.3) äàåò:
                             ρ ρ             ρ
                            eρ = ex cos ϕ + ey sin ϕ ,
                            ρ       ρ        ρ
                            eϕ = −ex sin ϕ + ey cos ϕ ,                     (4.4à)
                             ρ    ρ
                            e = e .
                            z     z


Îòñþäà óæå ëåãêî ïîëó÷èòü è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:
                               ρ ρ            ρ
                             ex = eρ cos ϕ − eϕ sin ϕ ,
                             ρ ρ             ρ
                             ey = eρ sin ϕ + eϕ cos ϕ ,                     (4.4á)
                             eρ = eρ .
                             z      z

                              ρ                                   ρ      ρ
        Ïðèìåð. Çàïèñàòü ïîëå a ( x , y , z ) = {− y , x ,0} = − ye x + xe y â öè-
ëèíäðè÷åñêîì áàçèñå.
        Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.1) è (4.4á), ïîëó÷àåì
 ρ                ρ
a ( ρ, ϕ , z ) = ρeϕ .
        Àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñîâ ìåæäó ñôåðè÷åñêîé è
äåêàðòîâîé ñèñòåìàìè êîîðäèíàò èìåþò áîëåå ãðîìîçäêèé âèä.
                              ρ
Îäíàêî åñëè âåêòîðíîå ïîëå a ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷-
                                         ρ           ρ
íûì, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå a = f ( r ) r , òî â ñôåðè÷åñêèõ êî-
îðäèíàòàõ îíî èìååò òîëüêî ðàäèàëüíóþ êîìïîíåíòó:
ρ ρ                   ρ                 ρ ρ             ρ          ρ      ρ       ρ
a = a ( r ) = f ( r )rer .  ÷àñòíîñòè, E = kr / r 3 = ker / r 2 , F = − kr = − krer .




                                         89