Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

87
Ðèñ. 18 Ðèñ. 19
Çàìå÷àíèå. Îáîáùåííûå êîîðäèíàòû íå îáÿçàòåëüíî èìåþò ðàç-
ìåðíîñòü äëèíû, îíè ìîãóò áûòü è óãëàìè; íî êîîð-
äèíàòíûå ëèíèè — ýòî âñåãäà îáúåêòû, ýëåìåíòû
êîòîðûõ èìåþò ðàçìåðíîñòü äëèíû.
Ïîñêîëüêó íåêîòîðûå êîîðäèíàòíûå ëèíèè â öèëèíäðè÷åñ-
êîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ íå ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè, òî òàêèå
êîîðäèíàòíûå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ êðèâîëèíåéíûìè.
Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ
ρ
e
1
,
ρ
e
2
,
ρ
e
3
, íàïðàâëåí-
íûõ ïî êàñàòåëüíûì ê ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíàò-
íûì ëèíèÿì (q
1
), (q
2
), (q
3
) â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ
ïåðåìåííûõ q
1
, q
2
, q
3
, íàçûâàåòñÿ áàçèñîì êîîðäè-
íàòíîé ñèñòåìû (q
1
, q
2
, q
3
). Íóìåðàöèÿ áàçèñíûõ âåê-
òîðîâ âåäåòñÿ òàê, ÷òîáû ýòà òðîéêà áûëà ïðàâîé.
Åñëè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå áàçèñíûå âåêòîðû
ρ
e
x
,
ρ
e
y
,
ρ
e
z
ÿâ-
ëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, òî â êðèâîëè-
íåéíîé ñèñòåìå îíè âñå èëè ÷àñòü èç íèõ áóäóò ìåíÿòü ñâîå
íàïðàâëåíèå ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé òî÷êè ê äðóãîé, ò. å. áàçèñ â
êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå áóäåò ïîäâèæíûì.
Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ îð-
òîãîíàëüíîé, åñëè â ëþáîé òî÷êå Ì áàçèñíûå âåêòî-
ðû
ρ
e
1
,
ρ
e
2
,
ρ
e
3
ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû.
 îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûå ëèíèè áóäóò âçàèì-
íî ïåðïåíäèêóëÿðíû â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
            Ðèñ. 18                        Ðèñ. 19
Çàìå÷àíèå. Îáîáùåííûå êîîðäèíàòû íå îáÿçàòåëüíî èìåþò ðàç-
            ìåðíîñòü äëèíû, îíè ìîãóò áûòü è óãëàìè; íî êîîð-
            äèíàòíûå ëèíèè — ýòî âñåãäà îáúåêòû, ýëåìåíòû
            êîòîðûõ èìåþò ðàçìåðíîñòü äëèíû.
     Ïîñêîëüêó íåêîòîðûå êîîðäèíàòíûå ëèíèè â öèëèíäðè÷åñ-
êîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ íå ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè, òî òàêèå
êîîðäèíàòíûå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ êðèâîëèíåéíûìè.
                                             ρ ρ ρ
Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ e1 , e2 , e3 , íàïðàâëåí-
            íûõ ïî êàñàòåëüíûì ê ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíàò-
            íûì ëèíèÿì (q1), (q2), (q3) â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ
            ïåðåìåííûõ q1, q2, q3, íàçûâàåòñÿ áàçèñîì êîîðäè-
            íàòíîé ñèñòåìû (q1, q2, q3). Íóìåðàöèÿ áàçèñíûõ âåê-
            òîðîâ âåäåòñÿ òàê, ÷òîáû ýòà òðîéêà áûëà ïðàâîé.
                                                     ρ ρ ρ
     Åñëè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå áàçèñíûå âåêòîðû e x , e y , e z ÿâ-
ëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, òî â êðèâîëè-
íåéíîé ñèñòåìå îíè âñå èëè ÷àñòü èç íèõ áóäóò ìåíÿòü ñâîå
íàïðàâëåíèå ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé òî÷êè ê äðóãîé, ò. å. áàçèñ â
êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå áóäåò ïîäâèæíûì.
Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ îð-
            òîãîíàëüíîé, åñëè â ëþáîé òî÷êå Ì áàçèñíûå âåêòî-
                ρ ρ ρ
            ðû e1 , e2 , e3 ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû.
     Â îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûå ëèíèè áóäóò âçàèì-
íî ïåðïåíäèêóëÿðíû â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.




                                87

Страницы