Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 78 стр.

                 ρ
             ãäå p — ìîìåíò äèïîëÿ, ïîñòîÿííûé âåêòîð. Óñòàíî-
                                    ρ
             âèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ïîëå a ñîëåíîèäàëüíûì.
       3.19. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ ñôåðà ðàäèóñîì R, âðàùàþ-
             ùàÿñÿ âîêðóã ñâîåé îñè, èìååò ìàãíèòíûé äèïîëü-
                          ρ
             íûé ìîìåíò p (ïîñòîÿííûé âåêòîð). Âåêòîðíûé ïî-
             òåíöèàë òàêîé ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì:
                      ρ ( pρ × rρ) / R3 при r < R,
                      A=  ρ ρ 3
                         ( p × r ) / r при r > R.
             Ïîêàçàòü, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ýòîé ñôå-
             ðîé,
                    ρ 2 pρ / R3               при r < R,
                    B= ρ ρ ρ 5 ρ 3
                      3( p ⋅ r )r / r − p / r при r > R.
     • Ïðîöåäóðîé, ïðåäñòàâëåííîé ôîðìóëàìè (3.7)—(3.11), ïî-
ñòðîèòü âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû ñëåäóþùèõ ñîëåíîèäàëüíûõ ïîëåé:
             ρ                              ρ
      3.20. a = {111
                  , , };              3.22. a = {2 y ,− z ,2 x} ;
             ρ                              ρ
      3.21. a = { y , z , x} ;        3.23. a = {0,0, ex − e y} ;
                                            ρ
                                      3.24. a = {x 2, y 2,−2 z( x + y )} .
                                                ρ
      3.25. Âåêòîðíûìè ïîòåíöèàëàìè ïîëÿ a = {0,0,2ω} ÿâëÿþò-
                 ρ
            ñÿ: A1 = {−ωy, ωx,0} — ïîëå ñêîðîñòåé ÷àñòèö òâåðäîãî
             òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îñè z ñ óãëîâîé ñêîðîñ-
                                   ρ
             òüþ ω (çàäà÷à 2.112); A2 = {0,2ωx ,0} — ïîëå ñêîðîñ-
             òåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèäêîñòè (â ðåêå), òåêóùåé âäîëü
             îñè y (çàäà÷à 2.113). Ïîêàçàòü, ÷òî ýòè âåêòîðíûå
             ïîòåíöèàëû îòëè÷àþòñÿ íà ãðàäèåíò íåêîòîðîé ñêà-
             ëÿðíîé ôóíêöèè ψ, è íàéòè åå.
                                                ρ ρ
       3.26. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ a = r = {x , y , z} .
       3.27. Ïî áåñêîíå÷íî äëèííîìó òîíêîìó ïðîâîäó, ïðîòÿ-
             íóòîìó âäîëü îñè z, òå÷åò òîê i, êîòîðûé ñîçäàåò â
             ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå




                                   78