Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

76
∂
∂
∂
∂
A
y
A
z
y
z
y
−=
,
∂
∂
∂
∂
A
z
A
x
z
xz
−=
,
∂
∂
∂
∂
A
x
A
y
y
x
=
. (3.12)
Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè A
x
= 0; òîãäà äâà ïîñëåäíèõ óðàâ-
íåíèÿ (3.12) äàþò:
A
z
= -xz + C
1
(y, z),
A
y
=C
2
(y, z),
ãäå C
1
(y, z) è C
2
(y, z) — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè, íî òàêèå,
÷òîáû âûïîëíÿëîñü ïåðâîå óðàâíåíèå (3.12). Ïîýòîìó ìîæíî ïî-
ëîæèòü, íàïðèìåð, Ñ
1
= 0, òàê ÷òî òðåòüÿ êîìïîíåíòà A
z
= -xz.
Âòîðóþ êîìïîíåíòó A
y
òåïåðü ñðàçó íàõîäèì èç ïåðâîãî óðàâíå-
íèÿ (3.12):
∂
∂
∂
∂
y
xz
A
z
y
y
()−− =
,
îòêóäà A
y
= -yz + C
3
(z). Ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ C
3
(z) òàêæå
ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, è òîãäà
ρ
Ayzxz=−−{, , }0
. (3.13)
Ââèäó îòíîñèòåëüíîé ãðîìîçäêîñòè ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ
âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà âñåãäà ñëåäóåò óáåæäàòüñÿ, ÷òî íàéäåí-
íûé âåêòîðíûé ïîòåíöèàë äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì, ò. å.
÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.5).
Åñòü åùå îäèí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
, êîòîðûé âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîùå ðàññìîòðåííîãî âûøå. Ïóñòü
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ V ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ
ρ
a
ñîäåðæèò íà÷àëî
êîîðäèíàò Î, ïðè÷åì ëþáàÿ òî÷êà M(x,y,z) ýòîé îáëàñòè ìîæåò
áûòü ñîåäèíåíà ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò îòðåçêîì ïðÿìîé, öåëèêîì
ïðèíàäëåæàùèì V. Òîãäà îäèí èç âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ ïîëÿ
ρ
a
ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå
ρ
ρρ
AM aM rtdt() (( ) )=′×
∫
0
1
, (3.14)
ãäå
ρ
r
— ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M (x, y, z), à òî÷êà M´(tx, ty, tz) ïðè
èçìåíåíèè ïàðàìåòðà t îò 0 äî 1 ïðîáåãàåò îò òî÷êè Î äî Ì ïî
ïðÿìîé.
             ∂Az ∂Ay      ∂Ax ∂Az       ∂Ay ∂A
                −    = y,    −    = z , ∂x = ∂yx .         (3.12)
             ∂y   ∂z      ∂z   ∂x
Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè Ax = 0; òîãäà äâà ïîñëåäíèõ óðàâ-
íåíèÿ (3.12) äàþò:
                    Az = -xz + C1 (y, z),
                           Ay = C2 (y, z),
ãäå C1 (y, z) è C2 (y, z) — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè, íî òàêèå,
÷òîáû âûïîëíÿëîñü ïåðâîå óðàâíåíèå (3.12). Ïîýòîìó ìîæíî ïî-
ëîæèòü, íàïðèìåð, Ñ1 = 0, òàê ÷òî òðåòüÿ êîìïîíåíòà Az = -xz.
Âòîðóþ êîìïîíåíòó Ay òåïåðü ñðàçó íàõîäèì èç ïåðâîãî óðàâíå-
íèÿ (3.12):
                         ∂ (− xz ) − ∂Ay = y
                        ∂y            ∂z       ,
îòêóäà Ay = -yz + C3 (z). Ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ C3 (z) òàêæå
ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, è òîãäà
                          ρ
                          A = {0,− yz ,− xz} .        (3.13)
       Ââèäó îòíîñèòåëüíîé ãðîìîçäêîñòè ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ
âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà âñåãäà ñëåäóåò óáåæäàòüñÿ, ÷òî íàéäåí-
íûé âåêòîðíûé ïîòåíöèàë äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì, ò. å.
÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.5).
       Åñòü åùå îäèí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
 ρ
 A , êîòîðûé âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîùå ðàññìîòðåííîãî âûøå. Ïóñòü
                                              ρ
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ V ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a ñîäåðæèò íà÷àëî
êîîðäèíàò Î, ïðè÷åì ëþáàÿ òî÷êà M(x,y,z) ýòîé îáëàñòè ìîæåò
áûòü ñîåäèíåíà ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò îòðåçêîì ïðÿìîé, öåëèêîì
ïðèíàäëåæàùèì V. Òîãäà îäèí èç âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ ïîëÿ
 ρ
a ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå
                      ρ        1
                                  ρ         ρ
                      A( M ) = ∫ (a( M ′) × r )tdt ,         (3.14)
                                0
    ρ
ãäå r — ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M (x, y, z), à òî÷êà M´(tx, ty, tz) ïðè
èçìåíåíèè ïàðàìåòðà t îò 0 äî 1 ïðîáåãàåò îò òî÷êè Î äî Ì ïî
ïðÿìîé.



                                    76

Страницы