Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 70 стр.

       ρ
3.10. a = {111
            , , } / (x + y + z) ;
       ρ
3.11. a = { yz ( 2 x + y + z ), xz ( x + 2 y + z ), xy ( x + y + 2 z )} .
                                                                ρ         ρ
3.12. Äîêàçàòü, ÷òî îñåâîå ðàäèàëüíîå ïîëå a = f ( ρ )ρ , ãäå
       ρ
      ρ = {x , y ,0} , f ( ρ ) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññòîÿ-
      íèÿ òî÷êè äî îñè z, ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì.
3.13. Äîêàçàòü, ÷òî âåêòîðíûå ëèíèè ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ
       ρ
      a âñþäó ïåðïåíäèêóëÿðíû ïîâåðõíîñòÿì ðàâíîãî ïî-
      òåíöèàëà (ýêâèïîòåíöèàëüíûì ïîâåðõíîñòÿì)
      ϕ = const.
                ρ      ρ
3.14. Ïóñòü a1 è a 2 — ïîòåíöèàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ, à
      èõ ïîòåíöèàëàìè ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûå ôóíêöèè ϕ1 è
      ϕ2. Äîêàçàòü, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîëå ϕ = ϕ1 + ϕ2 ÿâëÿåòñÿ
                                                     ρ ρ ρ
      ïîòåíöèàëîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a = a1 + a 2 .
                                                                           ρ
3.15. Âàæíåéøèìè ñâîéñòâàìè ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ a ÿâ-
      ëÿþòñÿ ñëåäóþùèå:
                             2
                                 ρ ρ
               à) ðàáîòà     ∫ a ⋅ dl   íå çàâèñèò îò ôîðìû êðèâîé
                             1

               1—2, à òîëüêî îò êîîðäèíàò òî÷åê 1 è 2;
                               ρ ρ
               á) öèðêóëÿöèÿ ∫ a ⋅ dl = 0 ïî ëþáîìó êîíòóðó Ñ.
                                    C

      Äîêàçàòü, ÷òî ýòè ñâîéñòâà òîæäåñòâåííû, ò. å. ÷òî
      èç ñâîéñòâà (a) ñëåäóåò (á), à èç (á) ñëåäóåò ñâîé-
      ñòâî (à).
3.16. Âíóòðè áåñêîíå÷íîãî ïëîñêîãî ñëîÿ -d ≤ x ≤ d ðàâíî-
      ìåðíî ðàñïðåäåëåí ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Èçâåñòíî,
      ÷òî òàêîé ñëîé ñîçäàåò â ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå
             ρ
      ïîëå E = {E x ,0,0} , ãäå

                     kx при − d ≤ x ≤ d ,
                    
               Ex =  kd при    x ≥ d,
                    − kd при  x ≤ −d ,
                    



                                 70