Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 67 стр.

òåíöèàëüíîñòè. Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ϕ = ϕ (x, y, z) ýòîãî
ïîëÿ îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé áàçîâîé òî÷êè Ì0 ìîæíî âû÷èñ-
ëèòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè. Âûáîð òîãî èëè èíîãî èç íèõ îïðå-
                                       ρ
äåëÿåòñÿ êîíêðåòíîé ñòðóêòóðîé ïîëÿ a .
Ñïîñîá 1. Ïîêîîðäèíàòíûé ïîäõîä.
           Ýòîò ñïîñîá ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ
           â (3.2) âûáèðàåòñÿ â âèäå òðåõ îòðåçêîâ, ïàðàëëåëü-
           íûõ îñÿì êîîðäèíàò (ðèñ. 13). Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåí-
           íîñòè òî÷êà Ì0 íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, ò. å.
                                              ρ
           Ì0 (0, 0, 0). Òîãäà ïîòåíöèàë ïîëÿ a â ïðîèçâîëüíîé
            òî÷êå M (x, y, z):
                            0
                              ρ ρ             0
            ϕ ( x, y, z ) = ∫ a ⋅ dl =        ∫ (a dx + a y dy + az dz ) =
                                                      x
                           M             M ( x, y, z )


               0                   0                      0
            = ∫ ax ( x, y, z )dx + ∫ a y (0, y, z )dy + ∫ az (0,0, z )dz .   (3.3)
               x                   y                      z




                                       Ðèñ. 13

Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà (3.3) ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ çàâåäîìî ïî-
                                                ρ
            òåíöèàëüíîãî ïîëÿ. Åñëè ïîëå a íå ïîòåíöèàëüíî,
            òî ðåçóëüòàò (3.3) áóäåò ëèøü ÷àñòíûì çíà÷åíèåì
            ðàáîòû ïîëÿ ïî ýòîìó êîíêðåòíîìó ïóòè. Ïî äðóãîìó
            ïóòè ðàáîòà áóäåò äðóãîé.
                      ρ
    Ïðèìåð 3. Ïóñòü a = { yz , xz , xy} . Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë ýòîãî
ïîëÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî áàçîâîé
òî÷êè Ì0 (0, 0, 0).




                                           67