Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

61
Ôîðìóëà Ãðèíà
Ôîðìóëà Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì âàðèàíòîì òåîðåìû Ñòî-
êñà, êîãäà ïîëå
ρ
a
— ïëîñêîå, ò. å.
ρ
aaxyaxy
xy
= {(,), (,)}
. Â ýòîì
ñëó÷àå ôîðìóëà (2.17) ïðèíèìàåò âèä:
ρ
ρ
adl
a
x
a
y
dxdy
C
y
x
S
⋅= −
∫∫∫
∂
∂
∂
∂
. (2.18)
Ôîðìóëà Ãðèíà íåñêîëüêî óïðîùàåò âû÷èñëåíèå öèðêóëÿöèè
ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ.
Çàäà÷è
• Ñëåäóþùèå çàäà÷è ðåøèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû
Ãðèíà. Îáõîä êîíòóðîâ âåçäå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
2.146. Äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ïîëÿ
ρ
ayx=−{,}
ïî êîí-
òóðó Ñ ðàâíà óäâîåííîé ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè-
÷åííîé ýòèì êîíòóðîì.
2.147. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayx=−{,}
33
ïî êîíòó-
ðó x
2
+y
2
= 1.
2.148. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayx=−{, }
22
ïî êîíòó-
ðó x+y+1= 0, x =0, y =0.
2.149. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayxyx=+ −{, }
ïî êîí-
òóðó x+y=1, x=0, y=0.
2.150. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
axyxy=−{,}
2
2
ïî
êîíòóðó y=x, y= x
2
.
2.151. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ax yxy y=+ +{ln( }, /( )}11
22 2
ïî êîíòóðó x
2
+y
2
= 2x.
2.152. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayeyxex
xy xy
=− +{( ),( )}
33
ïî êîíòóðó x
2
+y
2
= 1.
                                Ôîðìóëà Ãðèíà
     Ôîðìóëà Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì âàðèàíòîì òåîðåìû Ñòî-
                ρ                  ρ
êñà, êîãäà ïîëå a — ïëîñêîå, ò. å. a = {a x ( x , y ), a y ( x , y )} . Â ýòîì
ñëó÷àå ôîðìóëà (2.17) ïðèíèìàåò âèä:

                             ρ ρ         ∂a y       ∂ax 
                         ∫ a ⋅ dl = ∫∫  ∂x     −
                                                     ∂y 
                                                           dxdy .       (2.18)
                         C          S

Ôîðìóëà Ãðèíà íåñêîëüêî óïðîùàåò âû÷èñëåíèå öèðêóëÿöèè
ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ.

                                    Çàäà÷è
    • Ñëåäóþùèå çàäà÷è ðåøèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû
Ãðèíà. Îáõîä êîíòóðîâ âåçäå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
                                               ρ
    2.146. Äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ïîëÿ a = {− y , x} ïî êîí-
           òóðó Ñ ðàâíà óäâîåííîé ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè-
           ÷åííîé ýòèì êîíòóðîì.
                                             ρ
    2.147. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {− y 3, x 3} ïî êîíòó-
           ðó x2 + y2 = 1.
                                             ρ
    2.148. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y 2 ,− x 2} ïî êîíòó-
           ðó x + y + 1 = 0, x = 0, y = 0.
                                           ρ
    2.149. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y + x, y − x} ïî êîí-
           òóðó x + y = 1, x = 0, y = 0.
                                                                    ρ
      2.150. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {x − y 2 ,2 xy} ïî
             êîíòóðó y = x, y = x2.
      2.151. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
                   ρ
                   a = {x ln(1 + y 2}, x 2 y / (1 + y 2 )}
             ïî êîíòóðó x2 + y2 = 2x.
      2.152. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
                     ρ
                     a = {( ye xy − y 3 ),( xe xy + x 3 )}
               ïî êîíòóðó x2 + y2 = 1.




                                          61

Страницы