Теория случайных процессов - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
(
)
(
)
{
}
jtj
tjξω
Ρ=Ρ==Ρ
, для
0
j
∈Ν
,
найти следующие характеристики занятости (для произвольного мо-
мента времени) :
1) среднее число требований в системе;
2) среднее число требований в очереди;
3) вероятность занятости прибора.
2. Рассмотрим СМО с бесконечным числом обслуживающих прибо-
ров , граф которой
...
0
1
jj+1j-1
μ
μ
μ
μ
(j-1)
j
(j+1)
Составить систему для стационарного распределения и решить ее.
3. Доказать, что для линейных процессов рождения и гибели, для ко-
торых a > 0, b = 0 при
λµ
<
стационарное распределение имеет вид :
0
1
1...11,
!
a
j
j
aaa
jj
j
λ
λλ
µλλλµ


Ρ=⋅⋅⋅+⋅+−⋅−∈Ν




.
4. Рассмотрим систему, которую условно назовем " п автоматов , к
ремонтных площадок ( наладчиков)". Это пример замкнутой СМО. Граф
такой системы имеет вид :
...
0
1
j
j+1
j-1
μ
..
....
λ
λ
λ
λ
λ
λ
n
(n-1)
()n-k
()n-j
()n-i
i+1
i-1
ikn
(j+1)μ
k μ k μ
k μ k μ
j μ
Составить систему для стационарного распределения и решить ее.
Найти среднее число поломанных автоматов , среднее число простаиваю -
щих наладчиков в стационарном режиме.
5.Задача о телефонных линиях. Предположим , что имеется беско-
нечное число телефонных линий и что вероятность окончания разговора в
течение времени
(
)
,
ttt
+∆
равна
t
µ
∆
плюс слагаемые, которыми при
0
t
∆→
можно пренебречь. Поступающие вызовы образуют нагрузку пуассонов -
ского типа с параметром
λ
. Система находится в состоянии
n
Ε
, если заня-
                                                                        12
            Ρ j ( t ) = Ρ {ξt (ω ) = j} = Ρ j , для j ∈ Ν 0 ,
     най ти следую щ иехар актер истики занятости (для пр оизв ольного мо-
мента в р емени) :
    1) ср еднеечисло тр ебов аний в системе;
    2) ср еднеечисло тр ебов аний в очер еди;
    3) в ер оятностьзанятости пр ибор а.

        2. Рассмотр им С М О с бесконечны м числом обслуж ив аю щ их пр ибо-
р ов , гр аф котор ой

                     λ                     λ                                            λ                            λ                             λ


       0                     1                  ...                     j-1                           j                              j+1


                 μ                                     (j-1)   μ                   j    μ                 (j+1)    μ

           С остав итьсистему длястац ионар ногор аспр еделенияи р еш итьее.

       3. Д оказать, что длялиней ны х пр оц ессов р ож денияи гибели, дляко-
тор ы х a > 0, b = 0 пр и λ < µ стац ионар ноер аспр еделениеимеет в ид :
                                                                                            a
                         j
                 λ 1 a a  a                   λ λ
           Ρ j =   ⋅ ⋅ ⋅  + 1 ... ⋅  + j − 1 ⋅  1 −  , j ∈ Ν 0 .
                  µ  j! λ  λ   λ              µ

       4. Рассмотр им систему, котор ую услов но назов ем "п а вт ом а т ов , к
ре м онт ных п лощ а док (на ла дч и к ов)". Э то пр имер замкнутой С М О . Г р аф
такой системы имеет в ид:
   n   λ     (n-1)   λ                         (n-j)   λ                        (n-k)   λ                         (n-i )   λ                           λ

  0         1    ...         j-1           j               j+1     ..       k           ..      i-1           i                i+1    ..           n

       μ                           j   μ         (j+1)   μ          k   μ                             k   μ          k     μ               k   μ

       С остав ить систему для стац ионар ного р аспр еделения и р еш ить ее.
Н ай ти ср еднеечисло поломанны х ав томатов , ср еднеечисло пр остаив аю -
щ их наладчиков в стац ионар ном р еж име.

     5.За да ча о т е ле ф онных линиях. П р едполож им, что имеется беско-
нечноечисло телеф онны х линий и что в ер оятность окончания р азгов ор а в
течениев р емени ( t , t + ∆t ) р ав на µ∆t плю сслагаемы е, котор ы ми пр и ∆t → 0
мож но пр енебр ечь. П оступаю щ иев ы зов ы обр азую т нагр узку пуассонов -
ского типа спар аметр ом λ . С истема находится в состоянии Εn , если заня-

Страницы