Теория случайных процессов - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
(
)
i
mt
и
(
)
lim
i
t
mt
→+∞
.
2. Рассмотрим СМО с одним обслуживающим прибором ,
неограниченной очередью и естественным порядком обслуживания
требований .
Последовательности
{}
1
i
i
u
∞
и
{}
1
i
i
ν
∞
=
- те же, что и в замечании. Тогда
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
- процесс рождения и гибели с ,
ii
λλµµ
==
.Найти
(
)
i
mt
и
(
)
lim
i
t
mt
→+∞
.
3. Для СМО с бесконечным числом обслуживающих приборов , т.е.
для процесса с
0
,,
ii
ii
λλµµ
==∈Ν
,
найти
(
)
i
mt
и
(
)
lim
i
t
mt
→+∞
4. Найти дифференциальные уравнения процесса типа Юла с пере-
ходами только из
n
Ε
в
1
n
−
Ε
. Найти распределение
(
)
n
t
Ρ
, его ма-
тематическое ожидание и дисперсию , предполагая, что исходным
состоянием является состояние
i
Ε
.
5. В автопарк, рассчитанный на N мест , прибывает пуассоновский
поток машин с интенсивностью
λ
до тех пор , пока имеются сво-
бодные места. Найти дифференциальные уравнения для вероят -
ностей
(
)
n
t
Ρ
того, что ровно n мест заняты .
4. СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ
Определение 1 Будем говорить, что процесс рождения и гибели
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
имеет стационарное распределение
{}
0
j
j
∞
=
Ρ , если пределы :
(
)
lim
ijj
t
t
→+∞
Ρ=Ρ
существуют, не зависят от i и удовлетворяют условиям :
1.
0
0,
j
j
Ρ≥∈Ν
;
2.
0
1.
j
j
∞
=
Ρ=
∑
Имеет место следующее утверждение, оправдывающее название
" стационарное распределение ":
Теорема Пусть процесс
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
имеет стационарное распреде-
ление
{}
0
j
j
∞
=
Ρ . Если это распределение вероятностей взять в качестве на-
чального распределения
(
)
{
}
00
,
j
jjξω
Ρ=Ρ=∈Ν
, то безусловное распреде-
ление вероятностей значений процесса не зависит от времени и 
                                                         10
       mi ( t ) и lim mi ( t ) .
                           t →+∞



        2.       Рассмотр им С М О с одним обслуж ив аю щ им пр ибор ом,
неогр аниченной очер едью и естеств енны м пор ядком обслуж ив ания
тр ебовПанийосле.дов ательности {ui }i∞=1 и {ν i }i∞=1 - теж е, чтои в замечании. Т огда
        {ξt (ω ) , t ≥ 0} - пр оц есср ож денияи гибели с λi = λ , µi = µ .Н ай ти mi ( t ) и
 lim mi ( t ) .
t →+∞



     3. Д ля С М О с бесконечны м числом обслуж ив аю щ их пр ибор ов , т.е.
  дляпр оц есса с λi = λ , µi = i µ , i ∈ Ν 0 ,
                най ти mi ( t ) и tlim→+∞
                                          mi ( t )


       4. Н ай ти диф ф ер енц иальны еур ав нения пр оц есса типа Ю ла с пер е-
          ходами только из Εn в Ε n−1 . Н ай ти р аспр еделение Ρ n ( t ) , его ма-
          тематическоеож иданиеи диспер сию , пр едполагая, что исходны м
          состоянием яв ляетсясостояние Εi .

       5. В ав топар к, р ассчитанны й на N мест, пр ибы в ает пуассонов ский
          поток маш ин с интенсив ностью λ до тех пор , пока имею тся св о-
          бодны еместа. Н ай ти диф ф ер енц иальны еур ав нения для в ер оят-
          ностей Ρ n ( t ) того, чтор ов ноn мест заняты .

                              4. С Т АЦИ О Н АРН О Е РАС П РЕ Д Е Л Е Н И Е
                               П РО Ц Е С С О В РО Ж Д Е Н И ЯИ Г И БЕ Л И

     О пр еделение 1 Будем гов ор ить, что пр оц есс р ож дения и гибели
{ξt (ω ) , t ≥ 0} имеет ст а циона рное ра с п ре де ле ние { Ρ j }∞j =0 , если пр еделы :
                                   lim Ρij ( t ) = Ρ j
                                   t →+∞

       сущ еств ую т, незав исят от i и удов летв ор яю т услов иям :
       1. Ρ j ≥ 0, j ∈ Ν 0 ;
            ∞
       2.   ∑Ρ
            j =0
                   j       = 1.

       И меет место следую щ ее утв ер ж дение, опр ав ды в аю щ ее назв ание
"ст а циона рное ра с п ре де ле ние ":

       Те оре м а П усть пр оц есс {ξt (ω ) , t ≥ 0} имеет стац ионар ноер аспр еде-
ление{ Ρ j } j =0 . Е сли это р аспр еделениев ер оятностей в зять в качеств ена-
                       ∞



чального р аспр еделения Ρ j = Ρ {ξ 0 (ω ) = j} , j ∈ Ν 0 , то безуслов ноер аспр еде-
лениев ер оятностей значений пр оц есса незав исит от в р емени и

Страницы