Теория случайных процессов - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
(
)
{
}
,0
t
tηω
≥
пyaccoновский процесс с параметром
λ
Р, a
tt
−
пуассонов -
ский с параметром
(
)
1
P
λ
−
.
Замечание
Процесс рождения и гибели
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
с множеством состояний
X={0,1} описывает эволюцию системы массового обслуживания ( СМО) с
одним обслуживающим прибором , в которой отсутствуют места для ожи-
дания. Если считать, что длины интервалов между двумя последователь-
ными моментами прихода требований
{}
1
i
i
u
∞
=
и их времена обслуживания
{}
1
i
i
ν
∞
=
суть независимые последовательности независимых, показательно
распределенных случайных величин для первой - с параметром
λ
, а для
второй - с параметром
µ
, то
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
, где
(
)
t
ξω
означает число требо-
ваний в системе в момент времени t есть процесс рождения и гибели с па -
раметрами
λ
и
µ
.
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ
ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ
Во многих случаях получение решения системы (3) не только техни-
чески трудно, но и не всегда обязательно для решения интересующей нас
задачи. Иногда достаточно знать лишь некоторые из моментов случайного
процесса
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
.
Так, например , если нас интересует математическое ожидание
m(t)=M
(
)
t
ξω
в предположении его существования, то поступим следую -
щим образом :
Умножим j - ое уравнение в (3) на j и просуммируем по j . Получим
обыкновенное дифференциальное уравнение для :
()()
0
iij
j
mtjt
∞
=
=⋅Ρ
∑
с начальным условием
(
)
0
0,
i
mii
=∈Ν
, тогда, очевидно:
()()()
{}
0i
i
mtmti
ξω
=⋅Ρ=
∑
.
Задачи и упражнения
1. Линейные процессы рождения и гибели . Это процессы , для ко-
торых
,
ii
iaib
λλµµ
=+=+
для
000
,,0
ia
λµ
∈Ν==
где
,0,0,0
ab
λµ
>≥≥
. Дока -
зать, что условное среднее линейного процесса при b = 0 удовлетворяет
дифференциальному уравнению :
(
)
()()
i
i
dmt
amt
dt
λµ=+−⋅
с начальным условием т
i
(0) = i, найти : 
                                                          9

{η (ω ) , t ≥ 0}
  t         пyaccoнов ский пр оц есс с пар аметр ом λ Р , a ξt −ηt пуассонов -
ский спар аметр ом λ (1 − P ) .

     За м е ча ние
     П р оц есс р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} с множ еств ом состояний
X={0,1} описы в ает эв олю ц ию системы массов ого обслуж ив ания (СМ О ) с
одним обслуж ив аю щ им пр ибор ом, в котор ой отсутств ую т места для ож и-
дания. Е сли считать, что длины интер в алов меж ду дв умя последов атель-
ны ми моментами пр ихода тр ебов аний {ui }i =1 и их в р емена обслуж ив ания
                                                ∞



{ν i }i =1 суть незав исимы е последов ательности незав исимы х, показательно
      ∞


р аспр еделенны х случай ны х в еличин для пер в ой - с пар аметр ом λ , а для
в тор ой - с пар аметр ом µ , то {ξt (ω ) , t ≥ 0} , гдеξt (ω ) означает число тр ебо-
в аний в системев момент в р емени t есть пр оц есср ож дения и гибели спа-
р аметр ами λ и µ .

           3. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И АЛ Ь Н Ы Е У РАВ Н Е Н И Я Д Л Я М О М Е Н Т О В
П РО ЦЕ С С О В РО Ж Д Е Н И ЯИ Г И БЕ Л И

       В о многих случаях получениер еш ениясистемы (3) нетолько техни-
чески тр удно, но и нев сегда обязательно для р еш ения интер есую щ ей нас
задачи. И ногда достаточно знатьлиш ьнекотор ы еиз моментов случай ного
пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} .
       Т ак, напр имер , если нас интер есует математическое ож идание
m(t)=M ξt (ω ) в пр едполож ении его сущ еств ов ания, то поступим следую -
щ им обр азом :
       У множ им j - ое ур ав нениев (3) на j и пр осуммир уем по j . П олучим
обы кнов енноедиф ф ер енц иальноеур ав нениедля:
                                        ∞
                             mi ( t ) = ∑ j ⋅ Ρij ( t )
                                        j =0

сначальны м услов ием mi ( 0 ) = i, i ∈ Ν 0 , тогда, очевидно:
                            m ( t ) = ∑ mi ( t ) ⋅ Ρ {ξ0 (ω ) = i} .
                                        i



        За да чи и уп ра ж не ния

          1. Лине йные п роце с с ы рож де ния и гибе ли. Э то пр оц ессы , для ко-
тор ы х
          λi = iλ + a, µi = i µ + b для i ∈ Ν 0 , λ0 = a, µ0 = 0 гдеλ , µ > 0, a ≥ 0, b ≥ 0 . Д ока-
зать, что услов ноеср еднеелиней ного пр оц есса пр и b = 0 удов летв ор яет
диф ф ер енц иальному ур ав нению :
          dmi ( t )
                    = a + ( λ − µ ) ⋅ mi ( t ) сначальны м услов ием т i(0) = i, най ти :
            dt

Страницы