Теория случайных процессов - 7 стр.

                                                      7

                          d Ρi 0 ( t )
                                          = − λ0 Ρi 0 ( t ) + µ1Ρi1 ( t ) ,            t > 0,
                               dt
                                                                                                             (4)
          d Ρij ( t ) = λ Ρ
        dt              j −1 i j −1 ( t ) − ( λ j + µ j ) Ρ ij ( t ) + µ j +1Ρ i j +1 ( t ) , t > 0, j ∈ Ν,

       Ρij ( 0 ) = δ ij - начальноеуслов ие                       , δ ij - симв ол Кр онекер а, гдеi – ф икси-
р ов анноеиз Ν 0 .

      П олезно помнить, что системе, аналогичной (4), удов летв ор яю т и
безуслов ны ев ер оятности дляt>0.
      О бр атим св оев ниманиена систему (4). П р и в ы полнении опр еделен-
ны х услов ий , р егулир ую щ их степень р оста пар аметр ов р ож дения по отно-
ш ению к пар аметр ам гибели, система (4) имеет единств енноер еш ение,
удов летв ор яю щ ееуслов ию :
               ∞

              ∑ Ρ ( t ) = 1.
              j =0
                     ij


         Н о, к сож алению , р еш ениесистемы (4) - пр оц есс тр удоемкий даж е
для такого, на пер в ы й в згляд, пр остого пр оц есса р ож дения и гибели, как
пр оц есс с постоянны ми пар аметр ами р ож дения и гибели
( λi = λ; µi = µ , i ∈ Ν ) .
         Н о, к счастью , систему (4), помимо непоср едств енного р еш ения, в
р езультатечего получаем в ер оятности пер ехода за t>0 (в пер еходном р е-
ж име), мож но использов атьещ епо дв ум напр ав лениям (пункты 3,4).

       За да чи и уп ра ж не ния

       1.   Д ля пр оц есса р ож дения и гибели                               {ξ (ω ) , t ≥ 0}
                                                                                 t                 най ти :
 {                                    }
Ρ ξt +∆t (ω ) − ξt (ω ) ≥ 2 ξt (ω ) = i пр и ∆t → + 0


          2. В ы в ести пр ямую систему диф ф ер енц иальны х ур ав нений для пр а-
в ы х и левы х пр оизв одны х и убедиться, что они сов падаю т с(3). Аналогич-
ноесделать для системы (4). В ы в ести систему диф ф ер енц иальны х ур ав не-
ний (для пр ав ы х и левы х пр оизв одны х) для безуслов ного р аспр еделения
в ер оятностей состояний в пр оизв ольны й момент в р емени t>0, т.е. для
Ρ j (t ) , j ∈ Ν0 .

         3.Случа йный дв оичный с игна л. Т ак пр инято назы в ать пр оц есс р ож -
дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} с ф азов ы м пр остр анств ом X = {-1,1} и
в ер оятностями пер ехода за ∆t пр и ∆t → +0 Ρ −11 ( ∆t ) = λ∆t + O ( ∆t ) и
Ρ1−1 ( ∆t ) = µ∆t + O ( ∆t ) , где λ , µ > 0 .
         Д ляданного пр оц есса най ти:
         1)в ер оятности пер ехода Ρij ( t ) ;