Теория случайных процессов - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
2) безусловные вероятности при
(
)
j
t
Ρ данном начальном распреде-
лении:
(
)
{
}
(
)
{
}
00
11
ωω
ΡΘ=−=Ρ=ΡΘ=
;
3)
(
)
lim
ij
t
t
→+∞
Ρ
;
4) среднее значение процесса
(
)
(
)
t
mt
=ΜΘ
;
5) ковариационную функцию процесса
(
)
(
)
(
)
(
)
,cov,,
st
st ωωΚ=ΘΘ где
,0
st
≥
;
6) m(t) и K(s,t) для случая, когда начальное распределение совпадает
с распределением , полученным в 3). Будет ли процесс с таким распределе-
нием стационарным в широком смысле ?
4. Процесс Юла является примером процесса чистого рождения,
т.е.
0,()0
ii
t
µβ
=∆≡
и
i
i
λλ
=
для
00
,0
i
ξ
∈Ν≡
.
Указанный процесс широко применяется в физике и биологии для
описания эволюции следующей системы .
Рассмотрим совокупность элементов , которые могут независимо
друг от друга порождать новые элементы , но не могут исчезать. Предпо -
ложим , что каждый элемент с вероятностью
(
)
tOt
λ
∆+∆
производит новый
элемент в интервале (t;t+
∆
t).
Здесь естественно
(
)
t
ξω
интерпретировать как число рождений в ин -
тервале (0,t).
1) Найти безусловное распределение случайного процесса
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
(
)
(
)
{
}
jt
tj
ξω
Ρ=Ρ=
,
в предположении, что в начальный момент времени в совокупности
был один элемент ("родоначальник" или стартовый элемент).
2) Предположим , что родоначальник, и только он , может погибнуть,
причем его время жизни не зависит от поведения его потомков и имеет по -
казательное распределение с параметром
µ
. Найти распределение общего
числа потомков всех поколений этой стартовой особи в момент ее гибели.
3) Найти безусловное распределение процесса
t
ξ
при наличии в дан -
ной популяции п стартовых особей .
5. Пуассоновский процесс - процесс чистого рождения с
i
λλ
=
для i
0
∈Ν
и
(
)
t
ξω
так же, как и в 1, число рождений в (0,t).
1) Найти безусловное распределение вероятностей случайного про-
цесса
(
)
{
}
,0
t
tξω
≥
.
2) Введем следующую операцию " просеивания":
Каждую из родившихся особей независимо от других с вероятностью
Р объявим " синей", а с вероятностью 1 -Р - "красной".
Если обозначить
t
η
число " синих" особей , родившихся в (0,t), тогда
tt
ξη
−
- число " красных" особей , появившихся в -(0,t). Доказать, что 
                                              8
     2)безуслов ны ев ер оятности пр и Ρ j ( t ) данном начальном р аспр еде-
лении:
     Ρ {Θ0 (ω ) = − 1} = Ρ = Ρ {Θ0 ( ω ) =1} ;
     3) tlim Ρij ( t ) ;
         →+∞

         4) ср еднеезначениепр оц есса m ( t ) = ΜΘt (ω ) ;
         5) ков ар иац ионную ф ункц ию пр оц есса Κ ( s, t ) = cov ( Θ s (ω ) , Θt (ω ) ) , где
s, t ≥ 0 ;
         6) m(t) и K(s,t) для случая, когда начальноер аспр еделениесов падает
ср аспр еделением, полученны м в 3). Будет ли пр оц ессстаким р аспр еделе-
нием стац ионар ны м в ш ир оком смы сле?

       4.        Проце с с Ю ла яв ляется пр имер ом пр оц есса чистого р ож дения,
т.е. µi = 0, βi (∆t ) ≡ 0 и λi = iλ для i ∈ Ν 0 , ξ 0 ≡ 0 .
         У казанны й пр оц есс ш ир око пр именяется в ф изикеи биологии для
описанияэв олю ц ии следую щ ей системы .
         Рассмотр им сов окупность элементов , котор ы е могут незав исимо
др уг от др уга пор ож дать нов ы еэлементы , но немогут исчезать. П р едпо-
лож им, что каж ды й элемент с в ер оятностью λ∆t + O ( ∆t ) пр оизв одит нов ы й
элемент в интер в але(t;t+ ∆ t).
         Здесьестеств енно ξt (ω ) интер пр етир ов атькак число р ож дений в ин-
тер в але(0,t).
         1)      Н ай ти безуслов ное р аспр еделение случай ного пр оц есса
{ξt (ω ) , t ≥ 0} Ρ j (t ) = Ρ {ξt (ω ) = j} ,
         в пр едполож ении, что в начальны й момент в р емени в сов окупности
бы лодин элемент ("р одона ч а льни к " или стар тов ы й элемент).
        2) П р едполож им, что р одоначальник, и только он, мож ет погибнуть,
пр ичем его в р емяж изни незав исит от пов еденияего потомков и имеет по-
казательноер аспр еделениес пар аметр ом µ . Н ай ти р аспр еделениеобщ его
числа потомков в сех поколений этой стар тов ой особи в момент еегибели.
        3) Н ай ти безуслов ноер аспр еделениепр оц есса ξt пр и наличии в дан-
ной популяц ии п стар тов ы х особей .

       5.      Пуа с с онов с кий п роце с с - пр оц есс чистого р ож дения с λi = λ
для i ∈ Ν 0 и ξt (ω ) такж е, каки в 1, число р ож дений в (0,t).
        1) Н ай ти безуслов ноер аспр еделениев ер оятностей случай ного пр о-
ц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} .
        2) В в едем следую щ ую опер ац ию "п р осеи ва ни я":
       Каж дую из р одив ш ихсяособей незав исимоот др угих св ер оятностью
Р объ яв им "си ней", а св ер оятностью 1 -Р - "к р а сной".
       Е сли обозначить ηt число "си ни х " особей , р одив ш ихся в (0,t), тогда
ξt −ηt - число "к р а сных " особе      й , появ ив ш ихся в -(0,t). Д оказать, что

Страницы