Теория случайных процессов - 6 стр.

UptoLike

6
где
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00
0,0,0;,,0,
iiiii
tttt
λµµαββγ
==∆
- бесконечно ма-
лые более высокого порядка , чем
t
при
0
t
Определение 2. Числа
i
λ
и
i
µ
в определении 1 будем называть соот -
ветственно параметрами рождения и гибели соответствующего про-
цесса
(
)
{
}
,0
t
tξω
.
Если значение
(
)
t
ξω
процесса рождения и гибели
(
)
{
}
,0
t
tξω
ин -
терпретировать как число особей некоторой популяции в момент времени
t, то постулаты 1
00
и 2
00
означают, что вероятности "рождения" и "гибе -
ли " одной особи за время
t
с точностью до
(
)
Ot
есть линейные функции
длины интервала при
0
t
.
Заметим , что постулаты 1
00
-3
00
задают условные вероятности пере-
хода в соседние состояния и условную вероятность остаться в данном со-
стоянии за малый промежуток времени
t
. Поэтому естественными будут
следующие два вопроса :
первый - чему же равны условные вероятности "рождения" и "ги-
бели " более чем одной особи за время
t
при
0
t
;
второй - что можно сказать о вероятностях перехода
(
)
ij
t
Ρ
за проме-
жуток времени t>0 для данного процесса рождения и гибели .
Ответ на первый вопрос вы получите, решив задачу 1 этого пункта.
Ответ на второй вопрос дают решения систем дифференциальных
уравнений , которые можно вывести, используя постулаты 1
00
-3
00
и уравне-
ние Колмогорова - Чепмена 2
0
.
Для этого рассмотрим вероятности
(
)
,,0
ij
tttt
Ρ+∆>
.
Деление интервала
(
)
0;
tt
+∆
на два ( этого требует 2
0
) можно осуще-
ствить двумя способами:
1)
(
)
0;
t
и
(
)
;
ttt
+∆
;
2)
(
)
0;
t
и
(
)
;
ttt
+∆
для
0.
t
∆>
Первый способ деления интервала
(
)
0;
tt
+∆
приводит к обратной
системе дифференциальных уравнений :
(
)
()()
()
()()()
0
0001
11
,0,
,0,
j
jj
ij
iijiiijiij
dt
ttt
dt
dt
ttti
dt
λλ
µλµλ
−+
Ρ
=Ρ+Ρ>
Ρ
=Ρ+Ρ+Ρ>∈Ν
(3)
(
)
0
ijij
δ
Ρ=
- начальное условие,
ij
δ
- символ Кронекера, где j фикси-
рованное из
0
Ν
.
Второй способ при более жестких условиях приводит к прямой сис-
теме дифференциальных уравнений :
                                                     6
   гдеλi ≥ 0, µi ≥ 0, ( µ0 = 0 ) ; α i ( ∆t ) , β i ( ∆t ) , ( β 0 ( ∆t ) = 0 ) , γ i ( ∆t ) - бесконечно ма-
   лы еболеев ы сокогопор ядка, чем ∆t пр и ∆t → + 0
       О пр еделение2. Числа λi и µi в опр еделении 1 будем назы в атьсоот-
   в етств енно п а ра м е т ра м и рож де ния и гибе ли соотв етств ую щ его пр о-
   ц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} .
       Е сли значениеξt (ω ) пр оц есса р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} ин-
тер пр етир ов ать как число особей некотор ой популяц ии в момент в р емени
t, то постулаты 100 и 200 означаю т, что в ер оятности "рож де ния" и "гибе -
ли" одной особи за в р емя ∆t сточностью до O ( ∆t ) естьлиней ны еф ункц ии
длины интер в ала пр и ∆t → + 0 .
       Заметим, что постулаты 100-300 задаю т услов ны ев ер оятности пер е-
хода в соседниесостояния и услов ную в ер оятность остаться в данном со-
стоянии за малы й пр омеж уток в р емени ∆t . П оэтому естеств енны ми будут
следую щ иедв а в опр оса:
       пер в ы й - чему ж ер ав ны услов ны ев ер оятности "рож де ния" и "ги-
бе ли" болеечем одной особи за в р емя ∆t пр и ∆t → + 0 ;
       в тор ой - что мож но сказать о в ер оятностях пер ехода Ρij ( t ) за пр оме-
ж утокв р емени t>0 дляданного пр оц есса р ож денияи гибели.
       О тв ет на пер в ы й в опр осв ы получите, р еш ив задачу 1 этогопункта.
       О тв ет на в тор ой в опр ос даю т р еш ения систем диф ф ер енц иальны х
ур ав нений , котор ы емож но в ы в ести, используя постулаты 100-300 и ур ав не-
ниеКолм огоров а - Че п м е на 20.
       Д ляэтого р ассмотр им в ер оятности Ρij ( t + ∆t ) , t , ∆t > 0 .
       Д елениеинтер в ала ( 0;t + ∆t ) на дв а ( этого тр ебует 20 ) мож но осущ е-
ств итьдв умяспособами:
      1) ( 0; ∆t ) и ( ∆t ; t + ∆t ) ;
      2) ( 0;t ) и ( t ; t + ∆t ) для ∆t > 0.
       П ер в ы й способ деления интер в ала ( 0; t + ∆t ) пр ив одит к обр атной
системедиф ф ер енц иальны х ур ав нений :
                       d Ρ0 j ( t )
                                    = − λ0 Ρ 0 j ( t ) + λ0 Ρ1 j ( t ) , t > 0,
                          dt
                                                                                                        (3)
         d Ρij ( t ) = µ Ρ
         dt              i i −1 j ( t ) − ( λi + µi ) Ρ ij ( t ) + λi Ρ i +1 j , t > 0, i ∈ Ν


        Ρij ( 0 ) = δ ij - начальноеуслов ие                      , δ ij - симв ол Кр онекер а, гдеj – ф икси-
р ов анноеиз Ν 0 .

     В тор ой способ пр и болееж естких услов иях пр ив одит к пр ямой сис-
темедиф ф ер енц иальны х ур ав нений :