Теория случайных процессов - 11 стр.

                                                                     11
          Ρ {ξt (ω ) = j} = Ρ j = Ρ {ξ0 (ω ) = j} , j ∈ Ν 0 , t ≥ 0.
       С тац ионар ноер аспр еделениев пр едполож ении, что оно сущ еств ует,
мож но най ти, пер еходя в (4) к пр еделу пр и t → +∞ . П олучим систему ли-
ней ны х ур ав нений :
                                  0 = − λ0 Ρ 0 + µ1Ρ1
          
                              .         .          .          .                 .                            (5)
           
           0 = λ j −1Ρ j −1 − ( λ j + µ j ) Ρ j + µ j +1Ρ j +1 ,         j∈Ν
                                                                                          λ0 λ1...λ j −1
          Реш ение (5) имеет в ид Ρ j = π j ⋅ Ρ 0 , где π 0 = 1, π j =                                     для j ∈ Ν
                                                                                           µ1 µ2 ...µ j
и
                              −1
                 ∞     
          Ρ 0 =  ∑ π k  -из услов ия нор мир ов ки. А так как мы                               пр едполож или
                 k =0 
сущ еств ов аниестац ионар ного р аспр еделения, то необходимы м услов ием
сущ еств ов аниястац ионар ногор аспр еделенияяв ляетсясходимостьр яда
                                    ∞

                                   ∑π
                                   k =0
                                           k   .
       Д ля состав ления системы ур ав нений (5) мож но в оспользов аться сле-
дую щ им мнемоническим пр ав илом.
       С начала постр оим гр аф системы , изменениесостояний котор ой в о
в р емени описы в аетсяпр оц ессом р ож денияи гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} .

                   λ0                      λ1                                λj-1        λj                  λj+1


      0                       1                    ...               j-1             j            j+1


                  μ1                      μ2           μ j-1                μj           μj+1

       В ур ав нении системы (5), соотв етств ую щ ем состоянию j, слева -
"0", а спр ав а - алгебр аическаясумма ( со знаком "+" слагаемы е, соотв етст-
в ую щ иев ходящ им в состояниеj стр елкам - пр оизв едениепар аметр а на
в ер оятность того состояния, из котор ого стр елка в ы ходит, со знаком "-" -
аналогично стр оящ иеся слагаемы е, соотв етств ую щ ие в ы ходящ им стр ел-
кам).

          За да чи и уп ра ж не ния

     1. Д оказать, что стац ионар ноер аспр еделениеС М О , описанной в за-
даче 2 пункта 3, есть геометр ическое р аспр еделение с пар аметр ом
λ
  ,   (   λ <µ      )
µ
          П р едполагая, что система р аботает в стац ионар ном р еж име, т.е.: