Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Очевидно, что любая возрастающая на множестве Х
функция f(x) является неубывающей на этом множестве
(обратное утверждение несправедливо). Аналогично любая
убывающая на множестве
Х функция f(x) является
невозрастающей на этом множестве.
Иногда возрастающие и убывающие функции
называют строго монотонными, а неубывающие и
невозрастающие монотонными в широком смысле слова.
Ограниченные функции. Функция f(x) называется
ограниченной сверху (снизу) на множестве
Х, если
существует такое число
М ∈ R, что при любых х из
множества
Х выполняется неравенство f(x) ≤ М (f(x) ≥ M).
Функция называется ограниченной на множестве
Х,
если она ограничена и сверху и снизу, т.е. ∃
m, M ∈ R:
∀x ∈ X m ≤ f(x) ≤ M. Можно дать также эквивалентное
определение. Функция
у = f(x) называется ограниченной на
множестве
Х, если существует такое число М > 0, что f(x)
≤ M для любого х ∈Х.
у
М
а
b х
рис.2.1.7
а
b x
рис 2.1.8
y
М
Х
М
≥
f(x)
Х
М
≤
f(х)
у
М
f(x)
≤
М
а
b х
-М
Х
рис. 2.1.9
На рисунке 2.1.7 функция y = f(x) ограничена снизу на
множестве
Х = [ а , b], на рисунке 2.1.8 - ограничена сверху
на множестве
Х = [a, b], на рисунке 2.1.9 - ограничена на
множестве
Х = [ а , b]. 
      Очевидно, что любая возрастающая на множестве Х               у
функция f(x) является неубывающей на этом множестве                          f(x)≤ М
(обратное утверждение несправедливо). Аналогично любая             М
убывающая на множестве Х функция f(x) является                                 Х
невозрастающей на этом множестве.
      Иногда возрастающие и убывающие функции                            а               b х
называют строго монотонными, а неубывающие и
невозрастающие монотонными в широком смысле слова.
                                                                   -М
      Ограниченные функции. Функция f(x) называется                             рис. 2.1.9
ограниченной сверху (снизу) на множестве Х, если
существует такое число М ∈ R, что при любых х из                  На рисунке 2.1.7 функция y = f(x) ограничена снизу на
множества Х выполняется неравенство f(x) ≤ М (f(x) ≥ M).     множестве Х = [ а , b], на рисунке 2.1.8 - ограничена сверху
      Функция называется ограниченной на множестве Х,        на множестве Х = [a, b], на рисунке 2.1.9 - ограничена на
если она ограничена и сверху и снизу, т.е. ∃ m, M ∈ R:       множестве Х = [ а , b].
∀x ∈ X m ≤ f(x) ≤ M. Можно дать также эквивалентное
определение. Функция у = f(x) называется ограниченной на
множестве Х, если существует такое число М > 0, что f(x)
≤ M для любого х ∈Х.
  у    М ≤ f(х)
                             y      М ≥ f(x)
  М                          М

             Х                          Х
         а       b     х           а             b    x
             рис.2.1.7                      рис 2.1.8

Страницы