Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

1 у = 2
х
у
0 1 х
у = х - 1
Рис. 2.1.1.
Примерами графического задания функции,
встречающимися на практике, могут служить, например,
показания осциллографа; в медицине -
электрокардиограммы; в метрологии - барограммы (кривые,
изображающие зависимость между давлением и временем)
и т.д.
г)
Словесный способ задания функции состоит в том,
что функция описывается правилом составления. Например,
функция Дирихле: каждому рациональному числу поставим
в соответствие число 1, а каждому иррациональному - число
0.
д)
Программный способ задания функций состоит в
том, что при проведении численных расчетов на
компьютерах функции задаются с помощью программ для
их вычисления при нужных значениях аргумента или
требуемые значения функции в готовом виде
закладываются тем или иным способом в память
компьютера.
Основные характеристики поведения функции.
Средствами элементарной математики для функции
f(х) в большинстве случаев можно определить следующие
характеристики:
1)
нули и знак функции на множестве;
2)
четность или нечетность;
3)
периодичность;
4)
монотонность;
5)
ограниченность.
Нули функции и знак функции.
Значение
х ∈ Х, при котором функция f(х)
обращается в нуль, называется
нулем функции, т.е. нули
функции являются корнями уравнения
f(x) = 0.
В интервале, на котором функция положительна,
график ее расположен над осью
ОХ, а в интервале, на
котором она отрицательна - под осью
ОХ; в нуле функции
график имеет общую точку с осью
ОХ.
Четность и нечетность функции. Функция у = f(х)
называется
четной, если для любых значений х из области
определения имеет место равенство:
f(-х) = f(x) и
нечетной, если f(-x) = -f(x).
Например, функция f(x) = x
2
является четной, т.к.
f(-x) = (-x
2
) = x
2
= f(x); функция f(x) =
2
1
2
х
х−
- нечетная,
т.к. f(-x) =
2
1
2
()
()
−
−−
х
х
= -
2
1
2
х
х−
= -f(x)
Если для функции
f(x) не выполняется ни одно из
равенств
f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x), то f(x) называется
функцией общего вида.
Например, функция f(x) = х + х
2
является функцией
общего вида, т.к. f(-x) = -х + х
2
≠ f(x) и f(-x) ≠ - f(x).
График четной функции симметричен относительно
оси ординат, а график нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Периодичность функции. Функция f(x) называется
периодической, если для нее существует такое число
Т≠ 0,
что выполняются следующие условия: 1) при любом
Х → х 
                              у                                     3) периодичность;
                                                                    4) монотонность;
                         1               у = 2х                     5) ограниченность.
                                                                    Нули функции и знак функции.
                         0          1             х                 Значение х ∈ Х, при котором функция f(х)
                                                            обращается в нуль, называется нулем функции, т.е. нули
         у = х - 1
                                                            функции являются корнями уравнения f(x) = 0.
                     Р и с . 2 .1 .1 .                              В интервале, на котором функция положительна,
                                                            график ее расположен над осью ОХ, а в интервале, на
       Примерами      графического    задания    функции,   котором она отрицательна - под осью ОХ; в нуле функции
встречающимися на практике, могут служить, например,        график имеет общую точку с осью ОХ.
показания        осциллографа;      в     медицине      -           Четность и нечетность функции. Функция у = f(х)
электрокардиограммы; в метрологии - барограммы (кривые,     называется четной, если для любых значений х из области
изображающие зависимость между давлением и временем)        определения имеет место равенство:               f(-х) = f(x) и
и т.д.                                                      нечетной, если             f(-x) = -f(x).
       г) Словесный способ задания функции состоит в том,           Например, функция f(x) = x2 является четной, т.к.
что функция описывается правилом составления. Например,                                                       2х
функция Дирихле: каждому рациональному числу поставим       f(-x) = (-x2) = x2 = f(x); функция f(x) =               - нечетная,
                                                                                                            1 − х2
в соответствие число 1, а каждому иррациональному - число
                                                                           2 (− х )         2х
0.                                                          т.к. f(-x) =            2 = -        = -f(x)
       д) Программный способ задания функций состоит в                   1 − (− х )       1 − х2
том, что при проведении численных расчетов на                       Если для функции f(x) не выполняется ни одно из
компьютерах функции задаются с помощью программ для         равенств f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x), то f(x) называется
их вычисления при нужных значениях аргумента или            функцией общего вида.
требуемые      значения    функции    в    готовом   виде           Например, функция f(x) = х + х2 является функцией
закладываются тем        или иным способом в память         общего вида, т.к. f(-x) = -х + х2 ≠ f(x) и f(-x) ≠ - f(x).
компьютера.                                                         График четной функции симметричен относительно
       Основные характеристики поведения функции.           оси ординат, а график нечетной функции симметричен
       Средствами элементарной математики для функции       относительно начала координат.
f(х) в большинстве случаев можно определить следующие               Периодичность функции. Функция f(x) называется
характеристики:                                             периодической, если для нее существует такое число Т≠ 0,
       1) нули и знак функции на множестве;                 что выполняются следующие условия: 1) при любом Х → х
       2) четность или нечетность;

Страницы