Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 29 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

§3. Классификация функций.
Сложные функции. Пусть функция y = f(u) есть
функция от переменной
u, определенной на множестве U с
областью значений
Y, а переменная u в свою очередь
является функцией
u = ϕ(х) от переменной х, определен-
ной на множестве
Х с областью значений U. Тогда заданная
на множестве
Х функция у = f[ϕ(х)] называется сложной
функцией (или композицией функций
f и ϕ, суперпозицией
функций
f и ϕ, функцией f от функции ϕ), составленной из
функций
f и ϕ. Например, функция у = cos (x
2
+ 1) -
композиция двух функций у = cos u и u = (x
2
+ 1); функция
у = lg sin2
x
- композиция трех функций y = lg u, u = sin v,
v = 2
x
; функция y = ln sin
2
3
х
композиция четырех функций
y = ln u, u = sin v, v = 2
w
, w = x
3
. Переменные u, v, w
называются промежуточными аргументами.
Классификация функций. Из основных функций
можно получить новые функции с помощью конечного
числа арифметических действий и операции взятия
функции от функции.
Определение 4. Функции, полученные из основных
элементарных функций с помощью конечного числа
четырех арифметических действий и операции взятия
функции от функции, называются
элементарными.
Например, функция у =
х x
x
x
x
sin
lg
2
3
2
3
5
1
3
+
+− является
элементарной, так как здесь число операций сложения,
вычитания, умножения и деления и взятия функции от
функции конечно.
В зависимости от характера тех действий, которые
надо произвести над значением аргумента
х, чтобы
получить соответствующее значение функции, определена
следующая классификация функций.
1)
Если над значением аргумента х и некоторыми
постоянными производятся действия: сложение, вычитание,
умножение и возведение в целую положительную степень
конечное число раз, то полученная функция называется
целой рациональной функцией или многочленом и имеет
вид:
P(x) = а
0
x
m
+ а
1
x
m-1
+ ...+ а
m-1
x + а
m
где m - целое положительное или равное нулю число,
а коэффициенты а
0
, а
1
, ..., а
m-1
, а
m
- постоянные числа.
2)
Функция, полученная в результате деления двух
целых рациональных функций:
R(x) =
ax ax a x a
bx bx b x b
mm
mm
nn
nn
01
1
1
01
1
1
++++
++++
...
...
называется дробной рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных и дробно-
рациональных функций образует класс
рациональных
функций.
3)
Если над аргументом х, кроме вышеперечисленных
первых пяти алгебраических действий, производится еще
извлечение корня конечное число раз и результат не
является рациональной функцией, то полученная функция
называется
иррациональной.
Например, f(x) =
()
547
351
3
2
3
3
5
хх
хх
х
+−
−+
++
Cовокупность рациональных и иррациональных
функций образует класс
алгебраических функций.
Всякая неалгебраическая функция называется
трансцендентной. Известные нам основные элементарные
функции: показательная, логорифмическая, все