Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 29 стр.

                §3. Классификация функций.                          получить соответствующее значение функции, определена
                                                                    следующая классификация функций.
      Сложные функции. Пусть функция y = f(u) есть                       1) Если над значением аргумента х и некоторыми
функция от переменной u, определенной на множестве U с              постоянными производятся действия: сложение, вычитание,
областью значений Y, а переменная u в свою очередь                  умножение и возведение в целую положительную степень
является функцией      u = ϕ(х) от переменной х, определен-         конечное число раз, то полученная функция называется
ной на множестве Х с областью значений U. Тогда заданная            целой рациональной функцией или многочленом и имеет
на множестве Х функция у = f[ϕ(х)] называется сложной               вид:
функцией (или композицией функций f и ϕ, суперпозицией                    P(x) = а 0xm + а 1xm-1 + ...+ а m-1x + а m
функций f и ϕ, функцией f от функции ϕ), составленной из                 где m - целое положительное или равное нулю число,
                                                                    а коэффициенты а 0, а 1, ..., а m-1, а m - постоянные числа.
функций f и ϕ. Например, функция у = cos (x2 + 1) -
                                                                         2) Функция, полученная в результате деления двух
композиция двух функций у = cos u и u = (x2 + 1); функция
                                                                    целых рациональных функций:
у = lg sin2x - композиция трех функций y = lg u, u = sin v,
                               3                                                 a x m + a x m− 1 +...+ am−1x + am
v = 2x ; функция y = ln sin 2 х композиция четырех функций               R(x) = 0 n 1 n − 1
y = ln u, u = sin v, v = 2w , w = x3. Переменные u, v, w                          b0 x + b1x +...+bn −1x + bn
называются промежуточными аргументами.                                   называется дробной рациональной функцией.
      Классификация функций. Из основных функций                         Совокупность целых рациональных и дробно-
можно получить новые функции с помощью конечного                    рациональных функций образует класс рациональных
числа арифметических действий и операции взятия                     функций.
функции от функции.                                                      3) Если над аргументом х, кроме вышеперечисленных
      Определение 4. Функции, полученные из основных                первых пяти алгебраических действий, производится еще
элементарных функций с помощью конечного числа                      извлечение корня конечное число раз и результат не
четырех арифметических действий и операции взятия                   является рациональной функцией, то полученная функция
функции от функции, называются элементарными.                       называется иррациональной.
                                 х sin 2 x                                                        5х 2 + 4 х − 7 3
Например, функция у = 3                   3 + lg 3 x − 1 является         Например, f(x) =
                                                                                                  3х − 5х + 1
                                                                                                      3      (       )
                                                                                                                 + х+3
                                                                                                                         5

                                 x + 52 x
элементарной, так как здесь число операций сложения,                     Cовокупность рациональных и иррациональных
вычитания, умножения и деления и взятия функции от                  функций образует класс алгебраических функций.
функции конечно.                                                         Всякая      неалгебраическая            функция   называется
      В зависимости от характера тех действий, которые              трансцендентной. Известные нам основные элементарные
надо произвести над значением аргумента х, чтобы                    функции:       показательная,             логорифмическая,    все