ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Глава 3. Непрерывность и предел функции.
§ 1. Определение непрерывной функции.
Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки х
0
.
Определение1.Функция f(x) называется непрерывной
в точке
х
0
, если для любого числа ε > 0 существует число
δ
> 0 (зависящее от ε), что для любых х, таких, что
|
х - х
0
| < δ (3.1.1)
выполняется неравенство
|f(x) - f(x
0
)| < ε (3.1.2)
Графически это определение иллюстрируется
следующим образом (рис. 3.1.1)
2
ε
х
0
-
δ
х
0
х х
0
+
δ
M
М
0
0
f(x
0
)+
ε
f(x)
f(x
0
)
f(x
0
)-
ε
y
x
Рис.3.1.1.
Так как из неравенства х-х
0
<δ следует
справедливость неравенства f(x)-f(x
0
)<ε, то это значит, что
для всех точек х, отстоящих от точки х
0
не далее чем на δ,
точки М графика функции у = f(x) лежат внутри полосы
шириной 2ε, ограниченной прямыми у = f(x
0
) - ε и
у = f(x
0
) + ε. Легко видеть, что для приведенной на рисунке
непрерывной кривой (здесь "непрерывная кривая"
понимается в интуитивном смысле - ее можно начертить не
отрывая карандаша от бумаги), для любого ε можно
подобрать δ так, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству |х - х
0
| < δ будет выполняться неравенство
|f(x) - f(x
0
) < ε.
Таким образом математическое определение
непрерывности функции определенной в окрестности точки
х
0
, соответствует интуитивному понятию непрерывной
кривой.
Пример1. Покажем, что функция у = f(x) = kx + b
непрерывна всюду, т.е. в любой точке х
0
. Для этого
проверим, что эта функция удовлетворяет определению 1.
Возьмем произвольную точку (число) х
0
и произвольное
число ε > 0 и попробуем подобрать δ > 0 такое, чтобы
выполнялось неравенство (3.1). Рассмотрим
|f(x) - f(x
0
)| = |kx + b - kx
0
- b| = |k(x - x
0
)| < |k| δ.
Отсюда видно, что если выберем δ =
δ
ε
≤
k
для х,
удовлетворяющих неравенству |х - х
0
| < δ = хх
k
−〈=
0
δ
ε
,
то будет справедливо |f(x) - f(x
0
) < ε.
Таким образом для взятого ε > 0 мы подобрали δ
таким, что выполнено условие (3.1.2).
Так как в приведенных выше рассуждениях ε произвольно,
то этим доказана непрерывность в точке х
0
. Точка х
0
тоже
произвольна. Следовательно, функция у = kx + b
непрерывна всюду.
Глава 3. Непрерывность и предел функции. шириной 2ε, ограниченной прямыми у = f(x0) - ε и § 1. Определение непрерывной функции. у = f(x0) + ε. Легко видеть, что для приведенной на рисунке непрерывной кривой (здесь "непрерывная кривая" Пусть функция f(x) определена в некоторой понимается в интуитивном смысле - ее можно начертить не окрестности точки х0. отрывая карандаша от бумаги), для любого ε можно Определение1.Функция f(x) называется непрерывной подобрать δ так, что для всех х, удовлетворяющих в точке х0, если для любого числа ε > 0 существует число неравенству |х - х0| < δ будет выполняться неравенство δ > 0 (зависящее от ε), что для любых х, таких, что |f(x) - f(x0) < ε. |х - х0| < δ (3.1.1) Таким образом математическое определение выполняется неравенство непрерывности функции определенной в окрестности точки |f(x) - f(x0)| < ε (3.1.2) х0, соответствует интуитивному понятию непрерывной Графически это определение иллюстрируется кривой. следующим образом (рис. 3.1.1) Пример1. Покажем, что функция у = f(x) = kx + b непрерывна всюду, т.е. в любой точке х0. Для этого y проверим, что эта функция удовлетворяет определению 1. Возьмем произвольную точку (число) х0 и произвольное число ε > 0 и попробуем подобрать δ > 0 такое, чтобы выполнялось неравенство (3.1). Рассмотрим f(x0)+ε |f(x) - f(x0)| = |kx + b - kx0 - b| = |k(x - x0 )| < |k| δ. f(x) M 2ε ε f(x0) М0 Отсюда видно, что если выберем δ = δ ≤ для х, k f(x0)-ε ε удовлетворяющих неравенству |х - х0| < δ = х − х0 〈δ = , k 0 x х0-δ х0 х х0 +δ то будет справедливо |f(x) - f(x0) < ε. Таким образом для взятого ε > 0 мы подобрали δ Рис.3.1.1. таким, что выполнено условие (3.1.2). Так как в приведенных выше рассуждениях ε произвольно, Так как из неравенства х-х0<δ следует то этим доказана непрерывность в точке х0. Точка х0 тоже справедливость неравенства f(x)-f(x0)<ε, то это значит, что произвольна. Следовательно, функция у = kx + b для всех точек х, отстоящих от точки х0 не далее чем на δ, непрерывна всюду. точки М графика функции у = f(x) лежат внутри полосы
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »