Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3. Непрерывность и предел функции.
§ 1. Определение непрерывной функции.
Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки х
0
.
Определение1.Функция f(x) называется непрерывной
в точке
х
0
, если для любого числа ε > 0 существует число
δ
> 0 (зависящее от ε), что для любых х, таких, что
|
х - х
0
| < δ (3.1.1)
выполняется неравенство
|f(x) - f(x
0
)| < ε (3.1.2)
Графически это определение иллюстрируется
следующим образом (рис. 3.1.1)
2
ε
х
0
-
δ
х
0
х х
0
+
δ
M
М
0
0
f(x
0
)+
ε
f(x)
f(x
0
)
f(x
0
)-
ε
y
x
Рис.3.1.1.
Так как из неравенства х-х
0
<δ следует
справедливость неравенства f(x)-f(x
0
)<ε, то это значит, что
для всех точек х, отстоящих от точки х
0
не далее чем на δ,
точки М графика функции у = f(x) лежат внутри полосы
шириной 2ε, ограниченной прямыми у = f(x
0
) - ε и
у = f(x
0
) + ε. Легко видеть, что для приведенной на рисунке
непрерывной кривой (здесь "непрерывная кривая"
понимается в интуитивном смысле - ее можно начертить не
отрывая карандаша от бумаги), для любого ε можно
подобрать δ так, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству |х - х
0
| < δ будет выполняться неравенство
|f(x) - f(x
0
) < ε.
Таким образом математическое определение
непрерывности функции определенной в окрестности точки
х
0
, соответствует интуитивному понятию непрерывной
кривой.
Пример1. Покажем, что функция у = f(x) = kx + b
непрерывна всюду, т.е. в любой точке х
0
. Для этого
проверим, что эта функция удовлетворяет определению 1.
Возьмем произвольную точку (число) х
0
и произвольное
число ε > 0 и попробуем подобрать δ > 0 такое, чтобы
выполнялось неравенство (3.1). Рассмотрим
|f(x) - f(x
0
)| = |kx + b - kx
0
- b| = |k(x - x
0
)| < |k| δ.
Отсюда видно, что если выберем δ =
δ
ε
≤
k
для х,
удовлетворяющих неравенству |х - х
0
| < δ = хх
k
−〈=
0
δ
ε
,
то будет справедливо |f(x) - f(x
0
) < ε.
Таким образом для взятого ε > 0 мы подобрали δ
таким, что выполнено условие (3.1.2).
Так как в приведенных выше рассуждениях ε произвольно,
то этим доказана непрерывность в точке х
0
. Точка х
0
тоже
произвольна. Следовательно, функция у = kx + b
непрерывна всюду. 
    Глава 3. Непрерывность и предел функции.                    шириной 2ε, ограниченной прямыми у = f(x0) - ε и
     § 1. Определение непрерывной функции.                      у = f(x0) + ε. Легко видеть, что для приведенной на рисунке
                                                                непрерывной кривой (здесь "непрерывная кривая"
      Пусть функция f(x) определена в некоторой                 понимается в интуитивном смысле - ее можно начертить не
окрестности точки х0.                                           отрывая карандаша от бумаги), для любого ε можно
      Определение1.Функция f(x) называется непрерывной          подобрать δ так, что для всех х, удовлетворяющих
в точке х0, если для любого числа ε > 0 существует число        неравенству |х - х0| < δ будет выполняться неравенство
δ > 0 (зависящее от ε), что для любых х, таких, что             |f(x) - f(x0) < ε.
                  |х - х0| < δ                    (3.1.1)               Таким        образом       математическое            определение
выполняется неравенство                                         непрерывности функции определенной в окрестности точки
               |f(x) - f(x0)| < ε                  (3.1.2)      х0, соответствует интуитивному понятию непрерывной
      Графически       это     определение   иллюстрируется     кривой.
следующим образом (рис. 3.1.1)                                         Пример1. Покажем, что функция у = f(x) = kx + b
                                                                непрерывна всюду, т.е. в любой точке х0. Для этого
                          y                                     проверим, что эта функция удовлетворяет определению 1.
                                                                Возьмем произвольную точку (число) х0 и произвольное
                                                                число ε > 0 и попробуем подобрать δ > 0 такое, чтобы
                                                                выполнялось неравенство (3.1). Рассмотрим
              f(x0)+ε                                                 |f(x) - f(x0)| = |kx + b - kx0 - b| = |k(x - x0 )| < |k| δ.
                  f(x)                          M   2ε                                                                      ε
                  f(x0)
                                           М0                        Отсюда видно, что если выберем δ = δ ≤                     для х,
                                                                                                                            k
               f(x0)-ε
                                                                                                                                    ε
                                                                удовлетворяющих неравенству |х - х0| < δ = х − х0 〈δ =                  ,
                                                                                                                                    k
                          0                              x
                                      х0-δ х0 х х0 +δ           то будет справедливо |f(x) - f(x0) < ε.
                                                                     Таким образом для взятого ε > 0 мы подобрали δ
                              Рис.3.1.1.                        таким, что выполнено условие (3.1.2).
                                                                Так как в приведенных выше рассуждениях ε произвольно,
     Так    как    из   неравенства     х-х0<δ     следует    то этим доказана непрерывность в точке х0. Точка х0 тоже
справедливость неравенства f(x)-f(x0)<ε, то это значит, что   произвольна. Следовательно, функция у = kx + b
для всех точек х, отстоящих от точки х0 не далее чем на δ,      непрерывна всюду.
точки М графика функции у = f(x) лежат внутри полосы

Страницы