Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2. Покажем, что функция у = f(x) = x
2
непрерывна всюду. Возьмем точку х
0
, число ε > 0 и
рассмотрим разность
|f(x) - f(x
0
)| = |x
2
- x
2
0
| =|x - x
0
| |x + x
0
| < δ |x + x
0
|
(3.1.3)
для всех х таких, что |x - x
0
| < δ.
Здесь подобрать δ как в примере 1 нельзя, так как, если
положим
δ
ε
=
+хх
0
, то δ зависит от х.
Отметим, что для всех х, таких, что |x - x
0
| < 1, имеем
|x
+ x
0
| = |x - x
0
+2х
0
| < |x - x
0
| + 2 | x
0
| < 1 + 2 | x
0
| , и при этих
же х (3.1.3) примет вид
|f(x) - f(x
0
)| < δ (1 + 2 | x
0
|).
Отсюда, если примем δ ≤
0
›21 +
ε
следует
справедливость неравенство (3.1.2) верное при всех х,
удовлетворяющих при выбранном δ неравенству (3.1.1)
Этим и доказано, что у = х
2
есть всюду непрерывная
функция.
Отметим, что в этом примере δ можно выбрать равным
наименьшему из чисел 1 или
0
›21 +
ε
. Итак
.
x21
,1min
0
+
ε
=δ
Пример 3. Покажем, что функция у = f(x) =
1
х
непрерывна при любом х
0
≠ 0. Заметим, что при х
0
= 0
функция не определена и по этой причине мы не можем
говорить о непрерывности у =
1
х
в нуле. Возьмем х
0
≠ 0 и ε
> 0. Рассмотрим:
|f(x) - f(x
0
)| =
11
0
0
00
хх
хх
хх хх
−=
−
〈
δ
(3.1.4)
для всех х таких, что |x - x
0
| < δ.
Отметим, что прежде всего δ должно быть таким,
чтобы х = 0 не удовлетворяла неравенствух - х
0
< δ.
Следовательно, должно быть δ <х
0
. В силу этого для
любых х таких, что х - х
0
<
1
2
х
0
имеем
х=х
0
+ х - х
0
≥х
0
- х - х
0
>х
0
-
1
2
х
0
=
1
2
х
0
,
и, следовательно, при этих же х (3.1.4) примет вид
|f(x) - f(x
0
)| <
δ
1
2
0
2
х
.
Отсюда, если примем
δε
≤
1
2
0
2
х , то неравенство
(3.1.2) справедливо.
Таким образом, если выбрать
δε
=
min ,
1
2
1
2
00
2
xx,
то при этом будет выполнено неравенство (3.1.1)
Так как все приведенные рассуждения были
проведены при любом ε > 0 и любом значении х
0
не равном
0, то функция у =
1
х
непрерывна для любых х
0
≠ 0, т.е.
непрерывна во всех точках области определения функции. 
     Пример 2. Покажем, что функция у = f(x) = x2                                                            1
                                                                           говорить о непрерывности у =        в нуле. Возьмем х0 ≠ 0 и ε
непрерывна всюду. Возьмем точку х0, число ε > 0 и                                                            х
рассмотрим разность                                                        > 0. Рассмотрим:
 |f(x) - f(x0)| = |x2 - x20| =|x - x0| |x + x0| < δ |x + x0|
                                                                                                   1 1 х − х0 δ
(3.1.3)                                                                         |f(x) - f(x0)| =    − =      〈                   (3.1.4)
для всех х таких, что |x - x0| < δ.                                                                х х0 х х0 х х0
Здесь подобрать δ как в примере 1 нельзя, так как, если                    для всех х таких, что |x - x0| < δ.
                   ε                                                             Отметим, что прежде всего δ должно быть таким,
положим δ =                , то δ зависит от х.
                 х + х0                                                    чтобы х = 0 не удовлетворяла неравенствух - х0< δ.
                                                                           Следовательно, должно быть δ <х0. В силу этого для
      Отметим, что для всех х, таких, что |x - x0| < 1, имеем
                                                                                                           1
|x + x0| = |x - x0 +2х0| < |x - x0| + 2 | x0| < 1 + 2 | x0| , и при этих   любых х таких, что х - х0< х0 имеем
же х (3.1.3) примет вид                                                                                    2
      |f(x) - f(x0)| < δ (1 + 2 | x0|).                                                                             1       1
                                                                           х=х0 + х - х0 ≥х0 - х - х0>х0 - х0 = х0,
                                                       ε                                                            2       2
    Отсюда, если примем δ ≤                                      следует   и, следовательно, при этих же х (3.1.4) примет вид
                                                   1 + 2 ›0
                                                                                                    δ
справедливость неравенство (3.1.2) верное при всех х,                           |f(x) - f(x0)| <         .
                                                                                                   1 2
удовлетворяющих при выбранном δ неравенству (3.1.1)                                                 х
    Этим и доказано, что у = х2 есть всюду непрерывная                                             2 0
                                                                                                                1     2
функция.                                                                        Отсюда, если примем δ ≤           ε х0 , то неравенство
    Отметим, что в этом примере δ можно выбрать равным                                                          2
                                         ε                                 (3.1.2) справедливо.
наименьшему из чисел 1 или                    . Итак                             Таким образом, если выбрать
                                     1 + 2 ›0
                                                                                         1     1     2
                                        ε                                    δ = min x0 , ε x0  ,
                          δ = min 1,              .                                    2     2      
                                    1 + 2 x 0                                то при этом будет выполнено неравенство (3.1.1)
                                                   1                             Так как все приведенные рассуждения были
    Пример 3. Покажем, что функция у = f(x) =                              проведены при любом ε > 0 и любом значении х0 не равном
                                                   х
                                                                                                1
непрерывна при любом х0 ≠ 0. Заметим, что при х0 = 0                       0, то функция у =       непрерывна для любых х0 ≠ 0, т.е.
функция не определена и по этой причине мы не можем                                             х
                                                                           непрерывна во всех точках области определения функции.

Страницы