Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 37 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2. Покажем, что функция у = f(x) = x
2
непрерывна всюду. Возьмем точку х
0
, число ε > 0 и
рассмотрим разность
|f(x) - f(x
0
)| = |x
2
- x
2
0
| =|x - x
0
| |x + x
0
| < δ |x + x
0
|
(3.1.3)
для всех х таких, что |x - x
0
| < δ.
Здесь подобрать δ как в примере 1 нельзя, так как, если
положим
δ
ε
=
+хх
0
, то δ зависит от х.
Отметим, что для всех х, таких, что |x - x
0
| < 1, имеем
|x
+ x
0
| = |x - x
0
+2х
0
| < |x - x
0
| + 2 | x
0
| < 1 + 2 | x
0
| , и при этих
же х (3.1.3) примет вид
|f(x) - f(x
0
)| < δ (1 + 2 | x
0
|).
Отсюда, если примем δ
0
21 +
ε
следует
справедливость неравенство (3.1.2) верное при всех х,
удовлетворяющих при выбранном δ неравенству (3.1.1)
Этим и доказано, что у = х
2
есть всюду непрерывная
функция.
Отметим, что в этом примере δ можно выбрать равным
наименьшему из чисел 1 или
0
21 +
ε
. Итак
.
x21
,1min
0
+
ε
=δ
Пример 3. Покажем, что функция у = f(x) =
1
х
непрерывна при любом х
0
0. Заметим, что при х
0
= 0
функция не определена и по этой причине мы не можем
говорить о непрерывности у =
1
х
в нуле. Возьмем х
0
0 и ε
> 0. Рассмотрим:
|f(x) - f(x
0
)| =
11
0
0
00
хх
хх
хх хх
−=
δ
(3.1.4)
для всех х таких, что |x - x
0
| < δ.
Отметим, что прежде всего δ должно быть таким,
чтобы х = 0 не удовлетворяла неравенствух - х
0
< δ.
Следовательно, должно быть δ <х
0
. В силу этого для
любых х таких, что х - х
0
<
1
2
х
0
имеем
х=х
0
+ х - х
0
≥х
0
- х - х
0
>х
0
-
1
2
х
0
=
1
2
х
0
,
и, следовательно, при этих же х (3.1.4) примет вид
|f(x) - f(x
0
)| <
δ
1
2
0
2
х
.
Отсюда, если примем
δε
1
2
0
2
х , то неравенство
(3.1.2) справедливо.
Таким образом, если выбрать
δε
=
min ,
1
2
1
2
00
2
xx,
то при этом будет выполнено неравенство (3.1.1)
Так как все приведенные рассуждения были
проведены при любом ε > 0 и любом значении х
0
не равном
0, то функция у =
1
х
непрерывна для любых х
0
0, т.е.
непрерывна во всех точках области определения функции.