Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

у
х
а
х
0
Рис. 3.1.3
§ 2 Свойства непрерывных функций.
Теорема 3.2.1. (непрерывность сложной функции)
Если функция
t = g(x) непрерывна в точке х
0
, а
функция
у = f(t) непрерывна в точке t
0
= g(x
0
), то сложная
функция
f(g(x)) непрерывна в точке х
0
.
Доказательство. Так как функция f(t) непрерывна в
точке t
0
= g(x
0
), то для любого ε > 0 существует δ
1
> 0, что
справедливо f(t) - f(t
0
)< ε для всех t таких, что t - t
0
< δ
1
.
Так как функция t = g(x) непрерывна в точке t
0
, то для того
же самого δ
1
> 0, что и выше существует δ > 0, что
справедливо g(x) - g(x
0
)< δ
1
для всех х таких, что х
- х
0
< δ.
Таким образом, учитывая, что t = g(x) и t
0
= g(x
0
),
сопоставив приведенные неравенства, получим
справедливость
f(g(x)) - f(g(x
0
))< ε
для любых х, удовлетворяющих неравенству
х - х
0
< δ.
Так как все рассуждения проведены для
произвольного ε > 0, то непрерывность функции f(g(x)) в
точке х
0
доказана.
Теорема 3.2.2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в
точке
х
0
, то функции f(x) ± g(x) непрерывны в точке х
0
.
Доказательство. Выберем произвольное ε > 0. Так
как функция f(x) непрерывна в точке х
0
, то для числа
ε
2
> 0
существует δ
1
> 0, что и
f(x) - f(x
0
) <
ε
2
(3.2.1)
для всех х таких, что х - х
0
< δ
1
. А так как функция g(x)
непрерывна в точке х
0
, то для числа
ε
2
> 0 существует
δ
2
>0, что
g(x) - g(x
0
) <
ε
2
(3.2.2)
Отметим что, если выберем δ = minδ
1
,δ
2
, то для
любого х, удовлетворяющего неравенству х - х
0
< δ, оба
неравенства (3.2.1) и (3.2.2) справедливы, и поэтому
f(x) + g(x) - (f(x
0
) + g(x
0
))≤ f(x) - f(x
0
) +
+g(x) - g(x
0
) <
ε
2
+
ε
2
= ε,
что и доказывает непрерывность f(x) + g(x) в точке х
0
.
Непрерывность f(x) - g(x) доказывается аналогично.
Теорема 3.2.3. Если функции f(x) и g(x) непрерывны
в точке
х
0
, то функции 1) kf(x) (k - некоторое число) 
         у                                                               Так     как   все     рассуждения    проведены     для
                                                                    произвольного ε > 0, то непрерывность функции f(g(x)) в
         а
                                                                    точке х0 доказана.
                                                                         Теорема 3.2.2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в
                                                                    точке х0, то функции f(x) ± g(x) непрерывны в точке х0.
                 х0                  х                                   Доказательство. Выберем произвольное ε > 0. Так
                                                                                                                           ε
                                                                    как функция f(x) непрерывна в точке х0, то для числа        >0
              Р и с . 3 .1 .3                                                                                               2
                                                                    существует δ1 > 0, что и
                                                                                                ε
             § 2 Свойства непрерывных функций.                             f(x) - f(x0) <                            (3.2.1)
                                                                                         2
                                                                    для всех х таких, что х - х0< δ1. А так как функция g(x)
      Теорема 3.2.1. (непрерывность сложной функции)                                                        ε
      Если функция t = g(x) непрерывна в точке х0, а                непрерывна в точке х0, то для числа         > 0 существует
                                                                                                            2
функция у = f(t) непрерывна в точке t0 = g(x0), то сложная
                                                                    δ2 >0, что
функция f(g(x)) непрерывна в точке х0.
                                                                                                ε
      Доказательство. Так как функция f(t) непрерывна в                   g(x) - g(x0) <                                 (3.2.2)
точке t0 = g(x0), то для любого ε > 0 существует δ1 > 0, что                                    2
справедливо f(t) - f(t0)< ε для всех t таких, что t - t0< δ1.
                                                                         Отметим что, если выберем δ = minδ1,δ2, то для
Так как функция t = g(x) непрерывна в точке t0, то для того
                                                                    любого х, удовлетворяющего неравенству х - х0< δ, оба
же самого δ1 > 0, что и выше существует             δ > 0, что
                                                                    неравенства (3.2.1) и (3.2.2) справедливы, и поэтому
справедливо g(x) - g(x0)< δ1 для всех х таких, что          х
                                                                         f(x) + g(x) - (f(x0) + g(x0))≤ f(x) - f(x0) +
- х0< δ.                                                                               ε       ε
      Таким образом, учитывая, что t = g(x) и t0 = g(x0),           +g(x) - g(x0) <       = ε,
                                                                                            +
сопоставив         приведенные      неравенства,       получим                     2      2
справедливость                                                      что и доказывает непрерывность f(x) + g(x) в точке х0.
      f(g(x)) - f(g(x0))< ε                                       Непрерывность f(x) - g(x) доказывается аналогично.
      для любых х, удовлетворяющих неравенству                           Теорема 3.2.3. Если функции f(x) и g(x) непрерывны
                                                                    в точке х0, то функции 1) kf(x) (k - некоторое число)
       х - х0< δ.

Страницы