Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 38 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 1. Одним из важных свойств основных
элементарных функций является их непрерывность внутри
области своего определения (т.е. в каждой внутренней точке
области определения). В справедливости этого можно, в
принципе, убедиться, рассматривая каждую элементарную
функцию. Так, например, докажем непрерывность функции
у = f(x) = sin x. Для этого докажем сначала неравенство
sin α<α (3.1.5)
при любых α в радианах.
А
О
α
В
С
Рис. 3.1.2
На рис. 3.1.2 проведена окружность единичного
радиуса, АС перпендикулярна радиусу ОВ. Легко видеть,
что
sin α = АС < АВ < А
В
(
= α,
где А
В
(
- длина дуги. Это доказывает (3.5), если 0<<
α
π
2
.
В случае, если
α
π
2
справедливость (3.1.5) очевидна.
Для доказательства непрерывности у = sin x возьмем
точку х
0
и число ε > 0. Рассмотрим разность
|f(x) - f(x
0
) = sin x - sin x
0
= 2 cos
хх+
0
2
•
•sin
хх
0
2
≤ 21
хх
0
2
= x - x
0
.
Здесь при преобразовании учтено доказанное выше
неравенство (3.1.5). Таким образом, если взять δ = ε, то для
всех х, удовлетворяющих (3.1.1), справедливо (3.1.2). Так
как при вычислениях ε > 0 и х
0
любые, то функция у = sin x
непрерывна всюду.
Замечание 2. Те точки х
0
, при которых для функции у
= f(x) не выполняются условия определения 1, называются
точками разрыва. Подробно о них будет сказано позднее (в
параграфе 7).
Пример 4. Покажем, что х = х
0
является точкой
разрыва функции
fx
пих х
a пих х
()
р
р
=
=
0
0
0
Здесь а 0.
При х х
0
справедливо f(x) - f(x
0
)= а , поэтому,
если выбрать
ε
=
а
2
, то какое бы
δ > 0 мы не брали, всегда найдется х х
0
, удовлетворяющее
х - х
0
< δ, для которого f(х) - f(х
0
)= а >ε.
Следовательно для
ε
=
а
2
мы не можем подобрать δ > 0,
обеспечивающее выполнение (3.1.1), т.е. в точке х = х
0
,
рассматриваемая функция терпит разрыв (рис. 3.1.3)