Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 1. Одним из важных свойств основных
элементарных функций является их непрерывность внутри
области своего определения (т.е. в каждой внутренней точке
области определения). В справедливости этого можно, в
принципе, убедиться, рассматривая каждую элементарную
функцию. Так, например, докажем непрерывность функции
у = f(x) = sin x. Для этого докажем сначала неравенство
sin α<α (3.1.5)
при любых α в радианах.
А
О
α
В
С
Рис. 3.1.2
На рис. 3.1.2 проведена окружность единичного
радиуса, АС перпендикулярна радиусу ОВ. Легко видеть,
что
sin α = АС < АВ < А
В
(
= α,
где А
В
(
- длина дуги. Это доказывает (3.5), если 0<<
α
π
2
.
В случае, если
α
π
≥
2
справедливость (3.1.5) очевидна.
Для доказательства непрерывности у = sin x возьмем
точку х
0
и число ε > 0. Рассмотрим разность
|f(x) - f(x
0
) = sin x - sin x
0
= 2 cos
хх+
0
2
•
•sin
хх
−
0
2
≤ 2•1•
хх−
0
2
= x - x
0
.
Здесь при преобразовании учтено доказанное выше
неравенство (3.1.5). Таким образом, если взять δ = ε, то для
всех х, удовлетворяющих (3.1.1), справедливо (3.1.2). Так
как при вычислениях ε > 0 и х
0
любые, то функция у = sin x
непрерывна всюду.
Замечание 2. Те точки х
0
, при которых для функции у
= f(x) не выполняются условия определения 1, называются
точками разрыва. Подробно о них будет сказано позднее (в
параграфе 7).
Пример 4. Покажем, что х = х
0
является точкой
разрыва функции
fx
пих х
a пих х
()
р
р
=
≠
=
0
0
0
Здесь а ≠ 0.
При х ≠ х
0
справедливо f(x) - f(x
0
)= а , поэтому,
если выбрать
ε
=
а
2
, то какое бы
δ > 0 мы не брали, всегда найдется х ≠ х
0
, удовлетворяющее
х - х
0
< δ, для которого f(х) - f(х
0
)= а >ε.
Следовательно для
ε
=
а
2
мы не можем подобрать δ > 0,
обеспечивающее выполнение (3.1.1), т.е. в точке х = х
0
,
рассматриваемая функция терпит разрыв (рис. 3.1.3) 
      Замечание 1. Одним из важных свойств основных                                                              х + х0
элементарных функций является их непрерывность внутри                |f(x) - f(x0) = sin x - sin x0= 2 cos           •
                                                                                                                   2
области своего определения (т.е. в каждой внутренней точке                         х − х0
                                                                    х − х0
области определения). В справедливости этого можно, в        •sin         ≤ 2•1•          = x - x0.
принципе, убедиться, рассматривая каждую элементарную                 2               2
функцию. Так, например, докажем непрерывность функции              Здесь при преобразовании учтено доказанное выше
у = f(x) = sin x. Для этого докажем сначала неравенство      неравенство (3.1.5). Таким образом, если взять δ = ε, то для
                       sin α<α      (3.1.5)              всех х, удовлетворяющих (3.1.1), справедливо (3.1.2). Так
при любых α в радианах.                                      как при вычислениях ε > 0 и х0 любые, то функция у = sin x
                                                             непрерывна всюду.
                              А                                    Замечание 2. Те точки х0, при которых для функции у
                                                             = f(x) не выполняются условия определения 1, называются
                                                             точками разрыва. Подробно о них будет сказано позднее (в
                                                             параграфе 7).
                     α                                             Пример 4. Покажем, что х = х0 является точкой
        О                                   В                разрыва функции
                              С
                                                                                             0     п р и х ≠ х0
                          Р и с . 3 .1 .2                                           f (x ) = 
                                                                                             a     п р и х = х0
                                                                   Здесь а ≠ 0.
     На рис. 3.1.2 проведена окружность единичного                 При х ≠ х0 справедливо f(x) - f(x0)=  а , поэтому,
радиуса, АС перпендикулярна радиусу ОВ. Легко видеть,                            а
что                                                          если выбрать ε =      , то какое бы
                        (                                                        2
     sin α = АС < АВ < АВ = α,
                                                             δ > 0 мы не брали, всегда найдется х ≠ х0, удовлетворяющее
      (                                                π
где АВ - длина дуги. Это доказывает (3.5), если 0 < α < .    х - х0< δ, для которого f(х) - f(х0)= а >ε.
                                                       2
                                                                                          а
                     π                                       Следовательно для ε =           мы не можем подобрать δ > 0,
В случае, если α ≥     справедливость (3.1.5) очевидна.                                   2
                    2
                                                             обеспечивающее выполнение (3.1.1), т.е. в точке х = х0,
     Для доказательства непрерывности у = sin x возьмем
                                                             рассматриваемая функция терпит разрыв (рис. 3.1.3)
точку х0 и число ε > 0. Рассмотрим разность

Страницы