ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2)
f(x) • g(x), 3)
fx
gx
()
()
(здесь g(x)≠0) непрерывны в точке
х
0
.
Доказательство. 1) Так функция у = kt непрерывна
всюду (см. пример 1 из
§1), то в силу теоремы 3.2.1 сложная
функция у = kf(x) непрерывна в точке х
0
2) Отметим, так как функция у = t
2
непрерывна всюду (см. пример 2) и если функция у = Ф(х)
непрерывна в точке х
0
, то, в силу теоремы 2, сложная
функция у = Ф
2
(х) непрерывна в точке х
0
. Таким образом,
представив
f(x)*g(x) = 1/4 [(f(x) + g(x))
2
- (f(x) - g(x))
2
],
можем заключить о непрерывности произведения
непрерывных функций. Действительно, f(x) + g(x) и
f(x) - g(x) в силу теоремы 3.2.2 непрерывны в точке х
0
, их
квадраты в силу сказанного выше также непрерывны. По
теореме 3.2.1 непрерывна разность квадратов суммы и
разности функций f(x) и g(x) в точке х
0
. Далее, после
умножения на постоянное число 1/4, получаем снова
непрерывную функцию.
3) Так как функция у = 1/t непрерывна
при любом t
0
≠ 0 (см. пример 3), а по условию g(x
0
) = t
0
≠ 0,
то сложная функция у = 1/g(x) непрерывна в точке х
0
.
Отсюда следует, непрерывность в точке х
0
частного,
поскольку
fx
gx
fx
gx
()
()
()
()
=•
1
, а произведение
непрерывных функций, как уже доказано, непрерывная
функция.
Примеры.
а) Используя теорему 3.2.1 покажем, что функция
у = cos x непрерывна всюду. Для этого представим ее как
сложную функцию cos x = sin
π
2
−
х . Так как функции
у = sin t, t =
π
2
− х непрерывные (см.
§ 1) функции всюду, то
по теореме 3.2.1 функция у = cos x непрерывна всюду.
б) Функция у = cos x + x
2
непрерывна всюду, как
сумма непрерывных функций, согласно теореме 3.2.2.
в) Зная о непрерывности функций, рассмотренных в
§ 1 (примеры), можем на основании рассмотренных теорем
заключить о непрерывности функции у =
х x
x
32
4
1
−
+
sin
.
Замечание 1. Как следствие к теоремам 3.2.2 и 3.2.3
можем сформулировать следующее: сумма и произведение
n непрерывных функций есть тоже непрерывная функция.
Это легко можно доказать по индукции.
Замечание 2. Используя приведенные теоремы и
используя факт непрерывности основных элементарных
функций в области определения, можно доказать
следующее утверждение:
Всякая элементарная функция
непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Теорема 3.2.4. (устойчивость знака). Если каждая
функция
f(x) непрерывна в точке х
0
и
f(x
0
) ≠0, то можно указать такое δ > 0, что для любого х,
удовлетворяющего неравенство
х - х
0
< δ, функция f(x)
имеет тот же знак, что и значение
f(x
0
).
Доказательство. Для определенности считаем
f(x
0
) > 0. Выберем ε = f(x
0
) > 0 и по нему подберем δ > 0 ( в
силу непрерывности f(x)) такое, что f(x) - f(x
0
)< f(x
0
) для
любых х таких, что х - х
0
< δ. Тогда для всех таких х
справедливо f(x) - f(x
0
) > -f(x
0
) или f(x ) > 0, что и
f (x ) π
2) f(x) • g(x), 3) (здесь g(x)≠0) непрерывны в точке сложную функцию cos x = sin − х . Так как функции
g (x ) 2
х0. π
Доказательство. 1) Так функция у = kt непрерывна у = sin t, t = − х непрерывные (см. § 1) функции всюду, то
2
всюду (см. пример 1 из §1), то в силу теоремы 3.2.1 сложная по теореме 3.2.1 функция у = cos x непрерывна всюду.
функция у = kf(x) непрерывна в точке х0 б) Функция у = cos x + x2 непрерывна всюду, как
2) Отметим, так как функция у = t2 сумма непрерывных функций, согласно теореме 3.2.2.
непрерывна всюду (см. пример 2) и если функция у = Ф(х) в) Зная о непрерывности функций, рассмотренных в
непрерывна в точке х0, то, в силу теоремы 2, сложная § 1 (примеры), можем на основании рассмотренных теорем
функция у = Ф2(х) непрерывна в точке х0. Таким образом, х 3 − sin x 2
представив заключить о непрерывности функции у = .
f(x)*g(x) = 1/4 [(f(x) + g(x))2 - (f(x) - g(x))2], x4 + 1
можем заключить о непрерывности произведения Замечание 1. Как следствие к теоремам 3.2.2 и 3.2.3
непрерывных функций. Действительно, f(x) + g(x) и можем сформулировать следующее: сумма и произведение
f(x) - g(x) в силу теоремы 3.2.2 непрерывны в точке х0, их n непрерывных функций есть тоже непрерывная функция.
квадраты в силу сказанного выше также непрерывны. По Это легко можно доказать по индукции.
теореме 3.2.1 непрерывна разность квадратов суммы и Замечание 2. Используя приведенные теоремы и
разности функций f(x) и g(x) в точке х0. Далее, после используя факт непрерывности основных элементарных
умножения на постоянное число 1/4, получаем снова функций в области определения, можно доказать
непрерывную функцию. следующее утверждение: Всякая элементарная функция
3) Так как функция у = 1/t непрерывна непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
при любом t0 ≠ 0 (см. пример 3), а по условию g(x0) = t0 ≠ 0, Теорема 3.2.4. (устойчивость знака). Если каждая
то сложная функция у = 1/g(x) непрерывна в точке х0. функция f(x) непрерывна в точке х0 и
Отсюда следует, непрерывность в точке х0 частного, f(x0) ≠0, то можно указать такое δ > 0, что для любого х,
1 удовлетворяющего неравенство х - х0< δ, функция f(x)
f ( x)
поскольку = f ( x) • , а произведение имеет тот же знак, что и значение f(x0).
g( x) g( x) Доказательство. Для определенности считаем
непрерывных функций, как уже доказано, непрерывная f(x0) > 0. Выберем ε = f(x0) > 0 и по нему подберем δ > 0 ( в
функция. силу непрерывности f(x)) такое, что f(x) - f(x0)< f(x0) для
Примеры. любых х таких, что х - х0< δ. Тогда для всех таких х
а) Используя теорему 3.2.1 покажем, что функция справедливо f(x) - f(x0) > -f(x0) или f(x ) > 0, что и
у = cos x непрерывна всюду. Для этого представим ее как
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
