Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 40 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

2)
f(x) g(x), 3)
fx
gx
()
()
(здесь g(x)0) непрерывны в точке
х
0
.
Доказательство. 1) Так функция у = kt непрерывна
всюду (см. пример 1 из
§1), то в силу теоремы 3.2.1 сложная
функция у = kf(x) непрерывна в точке х
0
2) Отметим, так как функция у = t
2
непрерывна всюду (см. пример 2) и если функция у = Ф(х)
непрерывна в точке х
0
, то, в силу теоремы 2, сложная
функция у = Ф
2
(х) непрерывна в точке х
0
. Таким образом,
представив
f(x)*g(x) = 1/4 [(f(x) + g(x))
2
- (f(x) - g(x))
2
],
можем заключить о непрерывности произведения
непрерывных функций. Действительно, f(x) + g(x) и
f(x) - g(x) в силу теоремы 3.2.2 непрерывны в точке х
0
, их
квадраты в силу сказанного выше также непрерывны. По
теореме 3.2.1 непрерывна разность квадратов суммы и
разности функций f(x) и g(x) в точке х
0
. Далее, после
умножения на постоянное число 1/4, получаем снова
непрерывную функцию.
3) Так как функция у = 1/t непрерывна
при любом t
0
0 (см. пример 3), а по условию g(x
0
) = t
0
0,
то сложная функция у = 1/g(x) непрерывна в точке х
0
.
Отсюда следует, непрерывность в точке х
0
частного,
поскольку
fx
gx
fx
gx
()
()
()
()
=•
1
, а произведение
непрерывных функций, как уже доказано, непрерывная
функция.
Примеры.
а) Используя теорему 3.2.1 покажем, что функция
у = cos x непрерывна всюду. Для этого представим ее как
сложную функцию cos x = sin
π
2
х . Так как функции
у = sin t, t =
π
2
х непрерывные (см.
§ 1) функции всюду, то
по теореме 3.2.1 функция у = cos x непрерывна всюду.
б) Функция у = cos x + x
2
непрерывна всюду, как
сумма непрерывных функций, согласно теореме 3.2.2.
в) Зная о непрерывности функций, рассмотренных в
§ 1 (примеры), можем на основании рассмотренных теорем
заключить о непрерывности функции у =
х x
x
32
4
1
+
sin
.
Замечание 1. Как следствие к теоремам 3.2.2 и 3.2.3
можем сформулировать следующее: сумма и произведение
n непрерывных функций есть тоже непрерывная функция.
Это легко можно доказать по индукции.
Замечание 2. Используя приведенные теоремы и
используя факт непрерывности основных элементарных
функций в области определения, можно доказать
следующее утверждение:
Всякая элементарная функция
непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Теорема 3.2.4. (устойчивость знака). Если каждая
функция
f(x) непрерывна в точке х
0
и
f(x
0
) 0, то можно указать такое δ > 0, что для любого х,
удовлетворяющего неравенство
х - х
0
< δ, функция f(x)
имеет тот же знак, что и значение
f(x
0
).
Доказательство. Для определенности считаем
f(x
0
) > 0. Выберем ε = f(x
0
) > 0 и по нему подберем δ > 0 ( в
силу непрерывности f(x)) такое, что f(x) - f(x
0
)< f(x
0
) для
любых х таких, что х - х
0
< δ. Тогда для всех таких х
справедливо f(x) - f(x
0
) > -f(x
0
) или f(x ) > 0, что и