Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 40 стр.

                     f (x )                                                                        π   
2) f(x) • g(x), 3)          (здесь g(x)≠0) непрерывны в точке          сложную функцию cos x = sin  − х . Так как функции
                     g (x )                                                                        2   
х0.                                                                                     π
      Доказательство. 1) Так функция у = kt непрерывна                 у = sin t, t =  − х непрерывные (см. § 1) функции всюду, то
                                                                                     2
всюду (см. пример 1 из §1), то в силу теоремы 3.2.1 сложная            по теореме 3.2.1 функция у = cos x непрерывна всюду.
функция у = kf(x) непрерывна в точке х0                                       б) Функция у = cos x + x2 непрерывна всюду, как
                         2) Отметим, так как функция у = t2            сумма непрерывных функций, согласно теореме 3.2.2.
непрерывна всюду (см. пример 2) и если функция у = Ф(х)                       в) Зная о непрерывности функций, рассмотренных в
непрерывна в точке х0, то, в силу теоремы 2, сложная                   § 1 (примеры), можем на основании рассмотренных теорем
функция у = Ф2(х) непрерывна в точке х0. Таким образом,                                                           х 3 − sin x 2
представив                                                             заключить о непрерывности функции у =                    .
      f(x)*g(x) = 1/4 [(f(x) + g(x))2 - (f(x) - g(x))2],                                                             x4 + 1
можем заключить о непрерывности произведения                                  Замечание 1. Как следствие к теоремам 3.2.2 и 3.2.3
непрерывных функций. Действительно,                    f(x) + g(x) и   можем сформулировать следующее: сумма и произведение
f(x) - g(x) в силу теоремы 3.2.2 непрерывны в точке х0, их             n непрерывных функций есть тоже непрерывная функция.
квадраты в силу сказанного выше также непрерывны. По                   Это легко можно доказать по индукции.
теореме 3.2.1 непрерывна разность квадратов суммы и                           Замечание 2. Используя приведенные теоремы и
разности функций f(x) и g(x) в точке х0. Далее, после                  используя факт непрерывности основных элементарных
умножения на постоянное число 1/4, получаем снова                      функций в области определения, можно доказать
непрерывную функцию.                                                   следующее утверждение: Всякая элементарная функция
                         3) Так как функция у = 1/t непрерывна         непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
при любом t0 ≠ 0 (см. пример 3), а по условию g(x0) = t0 ≠ 0,                 Теорема 3.2.4. (устойчивость знака). Если каждая
то сложная функция у = 1/g(x) непрерывна в точке х0.                   функция f(x) непрерывна в точке х0 и
Отсюда следует, непрерывность в точке х0 частного,                      f(x0) ≠0, то можно указать такое δ > 0, что для любого х,
                                    1                                удовлетворяющего неравенство х - х0< δ, функция f(x)
                 f ( x)
поскольку               = f ( x) •        ,   а     произведение     имеет тот же знак, что и значение f(x0).
                 g( x)              g( x)                                   Доказательство. Для определенности считаем
непрерывных функций, как уже доказано, непрерывная                     f(x0) > 0. Выберем ε = f(x0) > 0 и по нему подберем δ > 0 ( в
функция.                                                               силу непрерывности f(x)) такое, что f(x) - f(x0)< f(x0) для
      Примеры.                                                         любых х таких, что х - х0< δ. Тогда для всех таких х
      а) Используя теорему 3.2.1 покажем, что функция                  справедливо f(x) - f(x0) > -f(x0) или f(x ) > 0, что и
у = cos x непрерывна всюду. Для этого представим ее как