Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 42 стр.

                                                          x+3               существует δ > 0 такое, что для любых х ≠ х0 и
при х = 1. Поэтому можно положить F ( x ) =                     . Отсюда
                                                          x +1              удовлетворяющих неравенству х - х0< δ следует
получим, что предел функции f(x) при х→1 существует и                       справедливость неравенства f(x) - b< ε. Для того, чтобы
равен b = F(1) = 2.                                                         показать, что b есть предел f(x) согласно первому
     При вычислении пределов коротко приведенные                            определению, достаточно показать, что функция F(x)
рассуждения записывают так:                                                 непрерывна в точке х0. Для этого, переписав второе
            x2 + 2 x − 3        ( х − 1)( х + 3)        х + 3 1+ 3          определение предела в терминах функции F(x), получим
      lim =              = lim                   = lim        =      = 2.   справедливость определения непрерывности функции F(x) в
      x →1     x −1
                2
                           x →1 ( х + 1)( х − 1)   x →1 х + 1   1+1
                                                                            точке х0.
                                                                                 Теорема 3.3.1. (единственность предела).
      Дадим другое определение предела.                                          Если предел функции f(x) при х → х0 существует, то
      Определение 3. (второе определение предела). Число                    он единственен.
b называется пределом функции f(x) при х → х0, если для                          Доказательство: Докажем от противного. Пусть при х
любого числа ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х                   → х0 функция f(x) имеет 2 предела b1, b2, b1 ≠ b2. Тогда
отличных от х0 (х ≠ х0) и удовлетворяющих неравенству                       функции
х - х0< δ имеет место неравенствоf(x) - b< ε.                                             f (x ) п р и х ≠ х0
      Это определение будем называть определение "на                              F1 ( x ) =                      и
                                                                                             b1      п р и х = х0
языке ε - δ". Покажем, что оба определения предела
функции (определение 2 и определение 4) эквивалентны.                                   f ( x)  п ри х ≠ х0
                                                                            F2 ( x ) = 
      Пусть b предел f(x) при х → х0 согласно первому                                  b2       п ри х = х0
определению. Покажем, что b предел согласно второму                                 непрерывны в точке х0, в силу определения предела.
определению. По первому определению функция (3.3.1)                         По свойству непрерывных функций их разность
F(x) непрерывна в точке х0. Следовательно, для любого ε >                                                п р и х ≠ х0
                                                                                                0
0 существует δ > 0, что для любых х таких, что х - х0< δ                  F1(x) - F2(x) =                          также непрерывна в
справедливоF(x) - F(x0)< ε. Учитывая, что в точке х0                                          b1 − b2 п р и х = х0
функция f(x) не определена, F(x0) = b и F(x) = f(x) при всех                точке х0. Что невозможно (см. пример 4 из § 1) поскольку
значениях х не равных х0, из определения непрерывности                      b1 - b2 ≠ 0. Это противоречие и доказывает теорему.
функции F(x) следует справедливость второго определения                             Теорема 3.3.2. (замена переменной в пределе)
предела.                                                                            Если существует lim g ( x ) = t0 и lim f ( t ) , а g(x) ≠ t0
                                                                                                      x→ x0               t → t0
      Пусть теперь b есть предел f(x) при х → х0 согласно
                                                                            при х ≠ х0, то выполняется равенство
второму определению. Это значит, что для любого ε > 0