ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
при х = 1. Поэтому можно положить
Fx
x
x
()=
+
+
3
1
. Отсюда
получим, что предел функции f(x) при х→1 существует и
равен b = F(1) = 2.
При вычислении пределов коротко приведенные
рассуждения записывают так:
lim lim
()()
()()
lim
xxx
xx
x
хх
хх
х
х
→→→
=
+−
−
=
−+
+−
=
+
+
=
+
+
=
1
2
2
11
23
1
13
11
3
1
13
11
2
.
Дадим другое определение предела.
Определение 3. (второе определение предела). Число
b называется пределом функции f(x) при х → х
0
, если для
любого числа ε
> 0 существует δ > 0 такое, что для всех х
отличных от
х
0
(х ≠ х
0
) и удовлетворяющих неравенству
х - х
0
< δ имеет место неравенствоf(x) - b< ε.
Это определение будем называть определение "на
языке ε - δ". Покажем, что оба определения предела
функции (определение 2 и определение 4) эквивалентны.
Пусть b предел f(x) при х → х
0
согласно первому
определению. Покажем, что b предел согласно второму
определению. По первому определению функция (3.3.1)
F(x) непрерывна в точке х
0
. Следовательно, для любого ε >
0 существует δ > 0, что для любых х таких, что х - х
0
< δ
справедливоF(x) - F(x
0
)< ε. Учитывая, что в точке х
0
функция f(x) не определена, F(x
0
) = b и F(x) = f(x) при всех
значениях х не равных х
0
, из определения непрерывности
функции F(x) следует справедливость второго определения
предела.
Пусть теперь b есть предел f(x) при х → х
0
согласно
второму определению. Это значит, что для любого ε > 0
существует δ > 0 такое, что для любых х ≠ х
0
и
удовлетворяющих неравенству х - х
0
< δ следует
справедливость неравенства f(x) - b< ε. Для того, чтобы
показать, что b есть предел f(x) согласно первому
определению, достаточно показать, что функция F(x)
непрерывна в точке х
0
. Для этого, переписав второе
определение предела в терминах функции F(x), получим
справедливость определения непрерывности функции F(x) в
точке х
0
.
Теорема 3.3.1. (единственность предела).
Если предел функции
f(x) при х → х
0
существует, то
он единственен.
Доказательство: Докажем от противного. Пусть при х
→ х
0
функция f(x) имеет 2 предела b
1
, b
2
, b
1
≠ b
2
. Тогда
функции
Fx
fx пих х
b пих х
и
1
0
10
()
() р
р
=
≠
=
Fx
fx пих х
b пих х
2
0
20
()
() р
р
=
≠
=
непрерывны в точке х
0
, в силу определения предела.
По свойству непрерывных функций их разность
F
1
(x) - F
2
(x) =
0
0
12 0
пих х
bbпих х
р
р
≠
−=
также непрерывна в
точке х
0
. Что невозможно (см. пример 4 из § 1) поскольку
b
1
- b
2
≠ 0. Это противоречие и доказывает теорему.
Теорема 3.3.2. (замена переменной в пределе)
Если существует
lim ( ) lim ( )
xx tt
gx t и ft
→→
=
00
0
, а g(x) ≠ t
0
при
х ≠ х
0
, то выполняется равенство
x+3 существует δ > 0 такое, что для любых х ≠ х0 и при х = 1. Поэтому можно положить F ( x ) = . Отсюда x +1 удовлетворяющих неравенству х - х0< δ следует получим, что предел функции f(x) при х→1 существует и справедливость неравенства f(x) - b< ε. Для того, чтобы равен b = F(1) = 2. показать, что b есть предел f(x) согласно первому При вычислении пределов коротко приведенные определению, достаточно показать, что функция F(x) рассуждения записывают так: непрерывна в точке х0. Для этого, переписав второе x2 + 2 x − 3 ( х − 1)( х + 3) х + 3 1+ 3 определение предела в терминах функции F(x), получим lim = = lim = lim = = 2. справедливость определения непрерывности функции F(x) в x →1 x −1 2 x →1 ( х + 1)( х − 1) x →1 х + 1 1+1 точке х0. Теорема 3.3.1. (единственность предела). Дадим другое определение предела. Если предел функции f(x) при х → х0 существует, то Определение 3. (второе определение предела). Число он единственен. b называется пределом функции f(x) при х → х0, если для Доказательство: Докажем от противного. Пусть при х любого числа ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х → х0 функция f(x) имеет 2 предела b1, b2, b1 ≠ b2. Тогда отличных от х0 (х ≠ х0) и удовлетворяющих неравенству функции х - х0< δ имеет место неравенствоf(x) - b< ε. f (x ) п р и х ≠ х0 Это определение будем называть определение "на F1 ( x ) = и b1 п р и х = х0 языке ε - δ". Покажем, что оба определения предела функции (определение 2 и определение 4) эквивалентны. f ( x) п ри х ≠ х0 F2 ( x ) = Пусть b предел f(x) при х → х0 согласно первому b2 п ри х = х0 определению. Покажем, что b предел согласно второму непрерывны в точке х0, в силу определения предела. определению. По первому определению функция (3.3.1) По свойству непрерывных функций их разность F(x) непрерывна в точке х0. Следовательно, для любого ε > п р и х ≠ х0 0 0 существует δ > 0, что для любых х таких, что х - х0< δ F1(x) - F2(x) = также непрерывна в справедливоF(x) - F(x0)< ε. Учитывая, что в точке х0 b1 − b2 п р и х = х0 функция f(x) не определена, F(x0) = b и F(x) = f(x) при всех точке х0. Что невозможно (см. пример 4 из § 1) поскольку значениях х не равных х0, из определения непрерывности b1 - b2 ≠ 0. Это противоречие и доказывает теорему. функции F(x) следует справедливость второго определения Теорема 3.3.2. (замена переменной в пределе) предела. Если существует lim g ( x ) = t0 и lim f ( t ) , а g(x) ≠ t0 x→ x0 t → t0 Пусть теперь b есть предел f(x) при х → х0 согласно при х ≠ х0, то выполняется равенство второму определению. Это значит, что для любого ε > 0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »