Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 42 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

при х = 1. Поэтому можно положить
Fx
x
x
()=
+
+
3
1
. Отсюда
получим, что предел функции f(x) при х1 существует и
равен b = F(1) = 2.
При вычислении пределов коротко приведенные
рассуждения записывают так:
lim lim
()()
()()
lim
xxx
xx
x
хх
хх
х
х
→→
=
+−
=
−+
+−
=
+
+
=
+
+
=
1
2
2
11
23
1
13
11
3
1
13
11
2
.
Дадим другое определение предела.
Определение 3. (второе определение предела). Число
b называется пределом функции f(x) при х х
0
, если для
любого числа ε
> 0 существует δ > 0 такое, что для всех х
отличных от
х
0
(х х
0
) и удовлетворяющих неравенству
х - х
0
< δ имеет место неравенствоf(x) - b< ε.
Это определение будем называть определение "на
языке ε - δ". Покажем, что оба определения предела
функции (определение 2 и определение 4) эквивалентны.
Пусть b предел f(x) при х х
0
согласно первому
определению. Покажем, что b предел согласно второму
определению. По первому определению функция (3.3.1)
F(x) непрерывна в точке х
0
. Следовательно, для любого ε >
0 существует δ > 0, что для любых х таких, что х - х
0
< δ
справедливоF(x) - F(x
0
)< ε. Учитывая, что в точке х
0
функция f(x) не определена, F(x
0
) = b и F(x) = f(x) при всех
значениях х не равных х
0
, из определения непрерывности
функции F(x) следует справедливость второго определения
предела.
Пусть теперь b есть предел f(x) при х х
0
согласно
второму определению. Это значит, что для любого ε > 0
существует δ > 0 такое, что для любых х х
0
и
удовлетворяющих неравенству х - х
0
< δ следует
справедливость неравенства f(x) - b< ε. Для того, чтобы
показать, что b есть предел f(x) согласно первому
определению, достаточно показать, что функция F(x)
непрерывна в точке х
0
. Для этого, переписав второе
определение предела в терминах функции F(x), получим
справедливость определения непрерывности функции F(x) в
точке х
0
.
Теорема 3.3.1. (единственность предела).
Если предел функции
f(x) при х х
0
существует, то
он единственен.
Доказательство: Докажем от противного. Пусть при х
х
0
функция f(x) имеет 2 предела b
1
, b
2
, b
1
b
2
. Тогда
функции
Fx
fx пих х
b пих х
и
1
0
10
()
() р
р
=
=
Fx
fx пих х
b пих х
2
0
20
()
() р
р
=
=
непрерывны в точке х
0
, в силу определения предела.
По свойству непрерывных функций их разность
F
1
(x) - F
2
(x) =
0
0
12 0
пих х
bbпих х
р
р
−=
также непрерывна в
точке х
0
. Что невозможно (см. пример 4 из § 1) поскольку
b
1
- b
2
0. Это противоречие и доказывает теорему.
Теорема 3.3.2. (замена переменной в пределе)
Если существует
lim ( ) lim ( )
xx tt
gx t и ft
→→
=
00
0
, а g(x) t
0
при
х х
0
, то выполняется равенство