ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
lim ( ( )) lim ( )
xx tt
fgx ft
→→
=
00
(3.3.5)
Доказательство: Пусть lim ( )
tt
ft b
→
=
0
. Тогда в силу
условия теоремы и определения предела функции
Ft
ft пиtt
b пиtt
и Gx
gx пих х
t пих х
()
() р
р
()
() р
р
=
≠
=
=
≠
=
0
0
0
00
непрерывны в соответствующих точках t
0
и х
0
. По теореме 1
о непрерывности сложной функции функция F(G(x))
непрерывна в точке х
0
. Так как при х ≠ х
0
справедливо
G(x) = g(x) ≠ t
0
, то при х ≠ х
0
F(G(x)) = f(g(x)).
Следовательно
FGx
fgx пиxx
b пиxx
(())
(()) р
р
=
≠
=
0
0
Поскольку F(G(x)) непрерывна в точке х
0
, то по
определению предела функции имеем
lim ( ( )) lim ( )
xx tt
fgx b ft
→→
=
=
00
Замечание. Формулу (3.3.5) используют при
вычислении пределов. При этом говорят: "В пределе,
стоящем в левой части равенства, сделана замена t = g(x)".
Примеры.
а) Вычислим предел
lim
cos cos
sin
x
х x
x
→
+−
−
π
3
2
2
21
43
для этого сделаем замену t = cos x, t
0
= lim
x→
π
3
1
2
и
вычислим
lim
cos cos
sin
lim
()
lim
()()
()()
lim
() ( )
xtt
t
х x
x
tt
t
tt
tt
t
t
→→→
→
+−
−
=
+−
−−
=
−+
−− +
=
=
+
−+
=
+
−+
=−
π
3
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
21
43
21
41 3
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
б) Вычислим предел
lim
x
x
x
→
+−
0
11
Сделаем замену t=
111
0
+= +=
→
х tx
x
, lim и вычислим
предел
lim lim lim
()()
lim
xtt t
x
x
t
t
t
tt t
→→→ →
+−
=
−
−
=
−
−+
=
+
=
01
2
11
11 1
1
1
11
1
1
1
2
Отметим, что на практике предложенный предел
вычисляют, домножая числитель и знаменатель на
11+−х ( на сопряженное выражение). Покажем это
(
)
(
)
()
()
lim lim
lim lim
xx
xx
x
x
xx
xx
x
xx
x
→→
→→
+−
=
+− ++
++
=
=
+−
++
=
++
=
+
=
00
00
11
1111
11
11
11
1
11
1
11
1
2
§ 4 Основные свойства пределов
Теорема 3.4.1. Если существуют lim ( ) lim ( )
xx xx
fxи gx
→→
00
,
то справедливы равенства:
lim f ( g ( x )) = lim f (t ) (3.3.5) 1
x → x0 t →t0 2
2 cos х + cos x − 1 2
2t + t − 1 2(t − )(t + 1)
Доказательство: Пусть lim f (t ) = b . Тогда в силу lim = lim = lim 2 =
t →t0 π 4 sin2
x − 3 1 4(1 − t 2 ) − 3 1 1 1
x→ t→ t → − 4(t − )(t + )
условия теоремы и определения предела функции 3 2 2 2 2
f ( t ) п р и t ≠ t0 g ( x ) п р и х ≠ х0 1
F (t ) = и G (x ) = +1
b п р и t = t0 t0 п р и х = х0 t +1 2 3
= lim = =−
непрерывны в соответствующих точках t0 и х0. По теореме 1 1 1 1 1 4
t → − 2(t + ) − 2( + )
о непрерывности сложной функции функция F(G(x)) 2 2 2 2
непрерывна в точке х0. Так как при х ≠ х0 справедливо
G(x) = g(x) ≠ t0 , то при х ≠ х0 F(G(x)) = f(g(x)). 1+ x −1
Следовательно б) Вычислим предел lim
x→ 0 x
f ( g ( x )) п ри x ≠ x0 Сделаем замену t= 1 + х , t = lim 1 + x = 1 и вычислим
F (G ( x )) =
b п ри x = x0 x →0
предел
Поскольку F(G(x)) непрерывна в точке х0, то по
определению предела функции имеем 1+ x − 1 t −1 t −1 1 1
lim = lim 2 = lim = lim =
lim f ( g ( x )) = b = lim f (t ) x→0 x t →1 t − 1 t →1 (t − 1)(t + 1) t →1 t + 1 2
x → x0 t →t0
Отметим, что на практике предложенный предел
Замечание. Формулу (3.3.5) используют при вычисляют, домножая числитель и знаменатель на
вычислении пределов. При этом говорят: "В пределе,
стоящем в левой части равенства, сделана замена t = g(x)". 1 + х − 1 ( на сопряженное выражение). Покажем это
lim
1+ x −1
= lim
( 1+ x −1 )( 1+ x + 1 )=
Примеры. x→0 x x→0 (
x 1+ x +1 )
2 cos х + cos x − 1 2
а) Вычислим предел lim 1+ x −1 1 1 1
4 sin2 x − 3 = lim = lim = =
( )
π
x→
3 x→0 x 1+ x +1 x→0 1+ x +1 1+1 2
1
для этого сделаем замену t = cos x, t0 = lim и
x→
π 2 § 4 Основные свойства пределов
3
вычислим Теорема 3.4.1. Если существуют lim f ( x ) и lim g ( x ) ,
x→ x0 x → x0
то справедливы равенства:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
