Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 43 стр.

        lim f ( g ( x )) = lim f (t )                          (3.3.5)                                                                               1
        x → x0            t →t0                                                                    2
                                                                                             2 cos х + cos x − 1               2
                                                                                                                         2t + t − 1            2(t −   )(t + 1)
      Доказательство: Пусть lim f (t ) = b . Тогда в силу                              lim                       = lim                  = lim        2          =
                                              t →t0                                        π     4 sin2
                                                                                                        x − 3         1 4(1 − t 2 ) − 3      1       1        1
                                                                                      x→                          t→                     t → − 4(t − )(t + )
условия теоремы и определения предела функции                                              3                          2                      2       2        2
           f ( t ) п р и t ≠ t0                     g ( x ) п р и х ≠ х0                                     1
F (t ) =                               и G (x ) =                                                              +1
          b         п р и t = t0                   t0       п р и х = х0                       t +1          2            3
                                                                                      = lim               =             =−
непрерывны в соответствующих точках t0 и х0. По теореме 1                                    1         1        1 1         4
                                                                                         t → − 2(t + ) − 2( + )
о непрерывности сложной функции функция F(G(x))                                              2         2        2 2
непрерывна в точке х0. Так как при х ≠ х0 справедливо
G(x) = g(x) ≠ t0 , то при х ≠ х0                         F(G(x)) = f(g(x)).                                     1+ x −1
Следовательно                                                                         б) Вычислим предел lim
                                                                                                          x→ 0     x
                          f ( g ( x )) п ри x ≠ x0                                   Сделаем замену t= 1 + х , t = lim 1 + x = 1 и вычислим
          F (G ( x )) = 
                         b             п ри x = x0                                                                                x →0

                                                                                предел
       Поскольку F(G(x)) непрерывна в точке х0, то по
определению предела функции имеем                                                          1+ x − 1         t −1             t −1               1     1
                                                                                      lim           = lim 2      = lim                 = lim        =
        lim f ( g ( x )) = b = lim f (t )                                             x→0     x       t →1 t − 1   t →1 (t − 1)(t + 1)   t →1 t + 1   2
       x → x0                     t →t0
                                                                                     Отметим, что на практике предложенный предел
     Замечание. Формулу (3.3.5) используют при                                  вычисляют, домножая числитель и знаменатель на
вычислении пределов. При этом говорят: "В пределе,
стоящем в левой части равенства, сделана замена t = g(x)".                       1 + х − 1 ( на сопряженное выражение). Покажем это

                                                                                      lim
                                                                                             1+ x −1
                                                                                                     = lim
                                                                                                                 (   1+ x −1   )(    1+ x + 1     )=
      Примеры.                                                                         x→0     x       x→0                 (
                                                                                                                           x 1+ x +1      )
                              2 cos х + cos x − 1     2

      а) Вычислим предел lim                                                                       1+ x −1                    1      1   1
                                  4 sin2 x − 3                                        = lim                      = lim             =   =
                                                                                               (             )
                            π
                         x→
                                          3                                              x→0   x 1+ x +1             x→0    1+ x +1 1+1 2
                                                                        1
      для этого сделаем замену t = cos x, t0 = lim                          и
                                                               x→
                                                                    π   2                       § 4 Основные свойства пределов
                                                                    3
вычислим                                                                              Теорема 3.4.1. Если существуют lim f ( x ) и lim g ( x ) ,
                                                                                                                                          x→ x0        x → x0

                                                                                то справедливы равенства: