Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 43 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

lim ( ( )) lim ( )
xx tt
fgx ft
→→
=
00
(3.3.5)
Доказательство: Пусть lim ( )
tt
ft b
=
0
. Тогда в силу
условия теоремы и определения предела функции
Ft
ft пиtt
b пиtt
и Gx
gx пих х
t пих х
()
() р
р
()
() р
р
=
=
=
=
0
0
0
00
непрерывны в соответствующих точках t
0
и х
0
. По теореме 1
о непрерывности сложной функции функция F(G(x))
непрерывна в точке х
0
. Так как при х х
0
справедливо
G(x) = g(x) t
0
, то при х х
0
F(G(x)) = f(g(x)).
Следовательно
FGx
fgx пиxx
b пиxx
(())
(()) р
р
=
=
0
0
Поскольку F(G(x)) непрерывна в точке х
0
, то по
определению предела функции имеем
lim ( ( )) lim ( )
xx tt
fgx b ft
→→
=
=
00
Замечание. Формулу (3.3.5) используют при
вычислении пределов. При этом говорят: "В пределе,
стоящем в левой части равенства, сделана замена t = g(x)".
Примеры.
а) Вычислим предел
lim
cos cos
sin
x
х x
x
+−
π
3
2
2
21
43
для этого сделаем замену t = cos x, t
0
= lim
x
π
3
1
2
и
вычислим
lim
cos cos
sin
lim
()
lim
()()
()()
lim
() ( )
xtt
t
х x
x
tt
t
tt
tt
t
t
→→
+−
=
+−
−−
=
−+
−− +
=
=
+
−+
=
+
−+
=−
π
3
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
21
43
21
41 3
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
б) Вычислим предел
lim
x
x
x
+−
0
11
Сделаем замену t=
111
0
+= +=
х tx
x
, lim и вычислим
предел
lim lim lim
()()
lim
xtt t
x
x
t
t
t
tt t
→→
+−
=
=
−+
=
+
=
01
2
11
11 1
1
1
11
1
1
1
2
Отметим, что на практике предложенный предел
вычисляют, домножая числитель и знаменатель на
11+−х ( на сопряженное выражение). Покажем это
(
)
(
)
()
()
lim lim
lim lim
xx
xx
x
x
xx
xx
x
xx
x
→→
→→
+−
=
+− ++
++
=
=
+−
++
=
++
=
+
=
00
00
11
1111
11
11
11
1
11
1
11
1
2
§ 4 Основные свойства пределов
Теорема 3.4.1. Если существуют lim ( ) lim ( )
xx xx
fxи gx
→→
00
,
то справедливы равенства: