Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 45 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Отсюда в силу непрерывности функции f(G(x)) в точке
х
0
и определения предела имеем
lim ( ( )) ( ) ( lim ( ))
xx xx
fgx ft f gx
→→
=
=
00
0
Пример. Вычислим предел lim
x
x
xx
+−
1
3
2
1
23
.
Отметим, что функция у = t непрерывна всюду и,
следовательно, по теореме 8 имеем
lim lim
lim
()( )
()()
lim
xx
xx
x
xx
x
xx
xxx
xx
xx
x
→→
→→
+−
=
+−
=
=
−++
−+
=
++
+
=
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
1
23
1
23
11
13
1
3
3
4
Теорема 3.4.3. (о промежуточной функции)
Если для функций U(x), Z(x), V(x) выполняется
неравенство при всех
х х
0
U(x) Z(x) V(x )
(3.4.1)
и lim ( ) lim ( ) ,
xx xx
Ux Vx b
→→
=
=
00
то lim ( )
xx
Zx b
=
0
Доказательство. В силу неравенства (3.4.1) имеем
U(x) - b Z(x) - b V(x) - b (3.4.2)
при всех х х
0
Из определения предела "на языке ε-δ" (определение
4) для функции u(x) имеем для любого ε > 0 существует
δ
1
> 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих х-х
0
<δ
1
выполняется u(x) - b<ε. Аналогично для функции v(x):
для любого ε > 0 существует δ
2
> 0 такое, что для всех х,
удовлетворяющих х - х
0
<δ
2
выполняется v(x) - b< ε.
Пусть δ = minδ
1
, δ
2
, тогда при всех х,
удовлетворяющих х - х
0
<δ и v(x) - b<ε. Следовательно,
в силу (3.13) получим ε < u(x) - b z(x) - b v(x) - b < ε, или
z(x) - b<ε
Отсюда следует, в силу определения предела "на
языке ε - δ"
lim ( )
xx
zx b
=
0
Теорема 3.4.4. Пусть lim ( )
xx
fx b
=
0
. Если f(x) 0 при
всех
х х
0
, то b 0 и если f(x) 0 при всех х х
0
, то b 0.
Доказательство. Докажем, что из f(x) 0 следует
b 0. Предположим, f(x) 0, а b < 0. По определению
предела функция
Fx
fx пиxx
b пиxx
()
() р
р
=
=
0
0
непрерывна в точке х
0
и F(x) = b < 0. В силу теоремы 4
(свойства устойчивости знака) существуют δ >0 что для
всех х таких х - х
0
< δ будет F(x) < 0. Следовательно, так
как F(x) = f(x) при х х
0
будет f(x) < 0, что противоречит
условию теоремы F(x) 0 и следовательно b > 0.
Случай, если f(x) 0, то b 0 доказывается
аналогично.
Теорема 3.4.5. (предельный переход в неравенствах)
Если
f(x) g(x), то
lim ( ) lim ( )
xx xx
fx gx
→→
00
(если эти
пределы существуют)
Доказательство. По условию теоремы g(x) = f(x) 0
и, следовательно, по теореме 3.4.4.
0
000
=
→→
lim(() ()) lim () lim ()
xx xx xx
gx fx gx fx