Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 45 стр.

      Отсюда в силу непрерывности функции f(G(x)) в точке            Пусть δ = minδ1, δ2, тогда при всех х,
х0 и определения предела имеем                                 удовлетворяющих х - х0<δ и v(x) - b<ε. Следовательно,
       lim f ( g ( x )) = f ( t0 ) = f ( lim g ( x ))          в силу (3.13) получим ε < u(x) - b ≤ z(x) - b ≤v(x) - b < ε, или
        x→ x0                   x→ x0
                                                               z(x) - b<ε
                                         x3 − 1                      Отсюда следует, в силу определения предела "на
     Пример. Вычислим предел      lim 2           .
                                  x →1 x + 2x − 3              языке ε - δ"
Отметим, что функция у = √t непрерывна всюду и,                        lim z ( x ) = b
следовательно, по теореме 8 имеем                                    x → x0
                                                                    Теорема 3.4.4. Пусть lim f ( x ) = b . Если f(x) ≥ 0 при
                                                                                             x → x0
               x −1
                 3
                                   x −1 3
                                                               всех х ≠ х0, то b ≥ 0 и если f(x) ≤ 0 при всех х ≠ х0, то b ≤ 0.
        lim 2           =   lim 2            =
        x →1 x + 2x − 3     x →1 x + 2 x − 3
                                                                     Доказательство. Докажем, что из f(x) ≥ 0 следует
              ( x − 1)( x 2 + x + 1)        x2 + x + 1     3   b ≥ 0. Предположим, f(x) ≥ 0, а b < 0. По определению
     = lim                           = lim             =       предела функция
         x →1    ( x − 1)( x + 3)      x →1   x+3          4
                                                                                f ( x)   п ри x ≠ x0
     Теорема 3.4.3. (о промежуточной функции)                         F ( x) = 
     Если для функций U(x), Z(x), V(x) выполняется                             b         п ри x = x0
неравенство при всех х ≠ х0                                    непрерывна в точке х0 и F(x) = b < 0. В силу теоремы 4
     U(x) ≤ Z(x) ≤ V(x )                           (3.4.1)     (свойства устойчивости знака) существуют δ >0 что для
и lim U ( x ) = lim V ( x ) = b ,                              всех х таких х - х0< δ будет F(x) < 0. Следовательно, так
    x → x0       x → x0
                                                               как F(x) = f(x) при х ≠ х0 будет f(x) < 0, что противоречит
то lim Z ( x ) = b
   x → x0                                                      условию теоремы F(x) ≥ 0 и следовательно b > 0.
     Доказательство. В силу неравенства (3.4.1) имеем               Случай, если f(x) ≤ 0, то b ≤ 0 доказывается
     U(x) - b ≤ Z(x) - b ≤ V(x) - b    (3.4.2)                 аналогично.
при всех х ≠ х0                                                     Теорема 3.4.5. (предельный переход в неравенствах)
      Из определения предела "на языке ε-δ" (определение            Если f(x) ≤ g(x), то lim f ( x ) ≤ lim g ( x ) (если эти
                                                                                               x → x0      x → x0
4) для функции u(x) имеем для любого ε > 0 существует          пределы существуют)
δ1 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих х-х0<δ1              Доказательство. По условию теоремы g(x) = f(x) ≥ 0
выполняется u(x) - b<ε. Аналогично для функции v(x):         и, следовательно, по теореме 3.4.4.
для любого ε > 0 существует δ2 > 0 такое, что для всех х,            0 ≤ lim ( g ( x ) − f ( x )) = lim g ( x ) − lim f ( x )
удовлетворяющих х - х0<δ2 выполняется v(x) - b< ε.                   x → x0              x → x0     x → x0