Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 47 стр.

                  α1 ( x )                                                        1                                             1
     3) если lim           = 1 , то α1(х) и α2(х) эквивалентные   α(x) =              < ε. Отсюда следует неравенство β ( х ) > .
              x→0 α ( x)
                   2                                                            β (х )                                          ε
бесконечно малые. Эквивалентность обозначают: то α1(х)                                           1
∼ α2(х).                                                          Таким образом, если М =               (М- можем считать любым), то
                                                                                                 ε
      Определение 3 Функция β(х) называется бесконечно
                                                                  из определения 3 бесконечно большой функции следует
                                                       1
большой при х       → х0, если функция α ( х ) =                  справедливость определения 4. Аналогично можно показать
                                                     β (х )       обратное: из справедливости определения 4 следует
бесконечно малая при х → х0. То, что β(х) есть бесконечно         справедливость определения 3.
большая функция при х → х0 символически записывают                     Замечания к определению бесконечно большой.
следующим образом lim β ( x ) = ∞                                      1. Если в определении 4 выполняется неравенство
                     x→ x0
                                                                  β(х)> М (β(х) < -М), то пишут
      Отметим, что данным определением устанавливается
                                                                        lim β ( x ) = +∞   ( lim β ( x ) = −∞ )
связь между бесконечно малой и бесконечно большой                       x→ x0                  x → x0

функцией. Так, например, если α(х) = х является                        2. Так же как и в случае бесконечно малых, деление
                                                  1     1         одной бесконечно большой функции на другую бесконечно
бесконечно малой при        х → 0, то β ( х ) =       =           большую может привести к различным результатам. При
                                                α ( х) х
является бесконечно большой при х → 0.                            этом       говорят:       "Имеем неопределенность        вида
      Для бесконечно большой функции можно дать другое                                                ∞
                                                                                                      
                                                                  бесконечность на бесконечность   ". В этом случае
равносильное определение.                                                                            ∞ 
      Определение 4. Функция β(х) называется бесконечно           имеем правила сравнения бесконечно больших функций,
большой при х → х0, если для любого числа М > 0                   аналогичные правилам сравнения бесконечно малых.
существует     δ1 > 0 такое, что     для всех х ≠ х0,                  Определение 5. Предел функции f(x) при х,
удовлетворяющих х-х0<δ выполняется неравенство                  стремящемся к бесконечности, определяется соотношением
f(x) > М.                                                                             1
                                                                   lim f ( x ) = lim f   ,                           (3.5.1)
                                           1                      x →∞           t →0  t 
      Действительно, функция α ( х ) =          согласно
                                         β ( х)                   в котором смысл правой части уже определен.
определению 3 является бесконечно малой. В силу                        Отметим, что равенство lim f ( x ) = b означает, что f(x)
                                                                                                        x →∞
определения бесконечно малой "на языке ε - δ" имеем, что          ≈ b для всех х очень больших (по модулю).
для всех х ≠ х0, удовлетворяющих х - х0<δ справедливо                 Приведенному       определению    5             равносильно
                                                                  следующее определение.