Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 46 стр.

         § 5 Бесконечно малая и бесконечно большая                                               ограниченную функцию являются бесконечно малыми
               функция. Предел при х→ ∞                                                          функциями при х→х0.
                                                                                                       Справедливость           этой    теоремы  вытекает     из
                                                                                                 определения бесконечно малой и теоремы 3.4.1. Здесь
     Определение 1. Функция α(х) называется бесконечно
                                                                                                 отметим, что при делении одной бесконечно малой на
малой при х →х0, если lim α ( x ) = 0
                                    x→ x0                                                        другую можем получить различные результаты. При этом
      Отметим, что, используя определения предела                                                                                                          0
функции для бесконечно малой, нужно дать два                                                     говорят: "Имеем неопределенность вида ноль на ноль   ".
                                                                                                                                                           0
равносильных данному определению определения. В                                                                                   2
                                                                                                 Так, например: а) α1(х) = х , α2(х) = 2х являются бесконечно
частности.                                                                                       малыми при х → 0, при этом
      Определение 2. ("на языке ε - δ"). Функция α(х)
                                                                                                            α1 ( x )        x2        x
называется бесконечно малой при х →х0, если для любого ε                                               lim           = lim     = lim = 0.
                                                                                                       x→ 0 α (x )     x→ 0 2x   x→ 0 2
> 0 существует δ > 0 такое, что для всех х ≠ х0,                                                             2

удовлетворяющих х - х0 < δ выполняет неравенство                                                                   б) α1(х) = х, α2(х) = 2х также бесконечно
α(х)<ε                                                                                         малыми при х → 0, но при этом
      Теорема        3.5.1.  Для    выполнения     равенства
 lim f ( x ) = b необходимо и достаточно, чтобы функция α(х)                                               α1 ( x )        x        1 1
x → x0                                                                                                 lim          = lim     = lim = .
                                                                                                       x→0 α ( x)     x→0 2 x   x→0 2 2
                                                                                                            2
= f(x) - b была бесконечно малой при х →х0
                                                                                                       Поэтому существуют правила сравнения бесконечно
      Доказательство.            Необходимость.                                        Пусть
lim f ( x ) = b . Покажем, что lim α ( x ) = 0 .                                                 малых. Пусть при х → х0 α1(х) и α2(х) являются
x → x0                                       x→ x0                                               бесконечно малыми:
         lim α ( x ) = lim ( f ( x ) − b) = lim f ( x ) − lim b = b − b = 0                                          α ( x)
         x → x0            x → x0                      x → x0             x → x0                       1) если lim 1        = 0 , то α1(х) - бесконечно малая
                                                                                                                 x→0 α ( x)
         Достаточность. Пусть lim α ( x ) = 0 . Покажем, что                                                           2
                                                     x→ x0
                                                                                                 более высокого порядка, чем α2(х) при х → х0
lim f ( x ) = b .          Так      как              f(x)       =        α(х)      +   b,   то                     α ( x)
x → x0
                                                                                                       2) если lim 1       = А ≠ 0 (А - число), то α1(х) и α2(х)
lim f ( x ) = lim (α ( x ) + b) = lim α ( x ) + lim b = 0 + b = b                                              x→0 α ( x)
                                                                                                                     2
x → x0            x → x0                    z → z0              x → x0
                                                                                                 - бесконечно малые одного порядка.
     Теорема 3.5.2 Алгебраическая сумма и произведение
конечного числа бесконечно малых функций при х→х0, а
также произведение бесконечно малой функции на