Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 48 стр.

      Определение 6. Число b называется пределом                            Примеры.
функции f(x) при х → ∞, если для любого ε >0 существует                                                          1       1
                                                                                   3x3 + 2x + 1              3 3 + 5 +1                3 + 5t 2 + t 3 − 3
число к >0 такое, что для любых х, удовлетворяющих                                                              t        t
                                                                         а) lim                    =   lim                     =  lim                 =
неравенству х> к выполняется неравенство f(x) - b< ε.                    x →∞ 4 − x − 4x
                                                                                          2      3
                                                                                                       t →0        1        1 t →0 4t 3 − t − 4             4
                                                                                                             4− 2 −4 3
      Действительно, согласно определению 3 бесконечно                                                             t        t
большой функции, функция х = 1/t является бесконечно                                                               1
большой, если t → 0. Покажем, что, если b является                                     2x + 1                    2 +1                    (2 + t ) / t
                                                                                                   = lim           t          = lim
пределом функции f(x) при х→∞ в смысле определения 6,                        lim 2
                                                                                                                1 1                                    2 =
                                                                             x →∞ 3x + х − 2                                    t →0 3 + t − 2t ) / t
                                                                                                                                                 2
                                                                                                      t →0
то b является пределом правой части (3.5.1. Для этого, введя             б)                                 3 2 + −2
                                                                                                               t       t
δ = 1/к, обозначив х = 1/t определение 6, можем                                   ( 2 + t )t
перефразировать. Число b называется пределом функции                         =                 =0
                                                                                3 + t − 2t 2
  1
f( ) при t→0, если для любого ε >0 существует δ > 0                                                                1
   t                                                                                   x3 + 1                        3 +1
такое, что для любых х, удовлетворяющих t<δ                                lim 2                  = lim t                    =
                                                                             x →∞ x + 2 x + 3            t →0 1          1
                               1                                         в)                                        +2 +3
выполняется неравенствоf( ) - b< ε. А это есть                                                              t2         t
                               t
                                                                                           (1 + t ) / t
                                                                                                 3        3
                                                                                                                           1+ t3
определение предела функции f(1/t) при t→0 "на языке       ε                 = lim                               =                      =∞
                                                                                t → 0 (1 + 2 t + 3t ) / t            t (1 + 2t + 3t 2 )
                                                                                                     2       2
- δ". Легко можно показать, что если b предел функции f(x)
                                             1                                                                                               1+ t3
при х→∞ в смысле определения 5 (b = lim f   ), то b также              Так            как,          если               β(х)         =                     ,то
                                       t→0  t                                                                                          t (1 + 2t + 3t 2 )
предел по определению 6.                                                     1         t (1 + 2 t + 3t 2 )
                                                                    α(х) =         =                          является бесконечно малой при
                                                                           β ( х)            1+ t3
     Замечание к определению предела при х→∞.                       t →0, и, следовательно, в силу определения 3 бесконечно
     Если в определении 6 выполняется неравенство х > к             большой функции β(х) является бесконечно большой при
(х   < -к), то пишут        lim f ( x ) = b ( lim f ( x ) = b ) .   t → ∞.
                                x → +∞           x → −∞

Определение предела при х→+∞ (х→-∞) аналогичное                             г) lim( x 2 + 3x + 1 − x ) . В этом пределе слагаемые
                                                                                 x →∞
определению 5 будет дано позднее в § 7.
                                                                    бесконечно большие функции, поэтому применять свойство
                                                                    о пределе разности нельзя. Здесь мы имеем
                                                                    неопределенность вида ∞-∞. Для вычисления этого