Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 49 стр.

предела избавимся от этой неопределенности, умножив                    Для доказательства рассмотрим сектор ОАС
числитель и знаменатель на сопряженное выражение.                 окружности единичного радиуса с центральным углом,
                                          x 2 + 3x + 1 − x 2      равным х (радиан) (рис. 3.6.1.)
     lim( x + 3x + 1 − x ) = lim 2
                2
                                                             =
     x →∞                           x →∞    x + 3x + 1 + x
                                                                                                                     В
                      1
                     3 +1                        3+ t                                                      А
     = lim            t           = lim                      =3
        t →0      1     1     1 t → 0 1 + 3t + t 2 + 1
                    + 3 +1 +
                 t2     t     t
                                       x +1− x
          lim( x + 1 − x ) = lim                    =
          x →∞                x →∞      x −1 + x
     д) = lim          1                     t                                               х
                             = lim                    =0                      О                                            С
             t →0   1      1    t → 0   (1 + t )t + 1
                      +1 +                                                                                     D
                    t      t
                                                                                                 Р и с . 3 .6 .1 .
     Замечание к §. Все теоремы, которые были
рассмотрены и доказаны для пределов функций при х →х0,                 Проведем построения: ВС перпендикулярно ОС. При
остаются справедливыми и для пределов функций при                 этом имеем ОС = 1, sin x = AD, tg x = DC. Следовательно,
х→∞, так как в определении 5 при х→∞ справа стоит                 площади треугольника ОАС, сектора ОАС, треугольника
предел функции в смысле определения предела, введенного           ОВС можем вычислить по формулам
раньше.                                                                         sin x             1              tgx
                                                                       S∆ОАС =        , Sсек ОАС = х , S∆ОВС =       .
                                                                                  2               2               2
                § 6. Замечательные пределы                             Из рис. 3.6.1. видно, что площади этих фигур связаны
                                                                  неравенствами
     На основании свойства предела о промежуточной                                                      1         1      1
                                                                       S∆ОАС < Sсек ОАС < S∆ОВС или       sin x < x < tgx
функции доказываются два предела, имеющие важное                                                        2         2      2
значение в теории и практике.                                                                                   1
                                                                       Разделив все части неравенства на          sin x > 0 (т.к. на
                Первый замечательный предел                                                                     2
                           sin x                                  рисунке 0< х <π/2), получим
                       lim       = 1 (3.6.1)
                       x →0 x                                          1 < х/sin x < 1/cos x или 1 > sin x/x > cos x       (3.6.2)