Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 50 стр.

    Отметим, что (3.6.2) остается справедливым и для                               sin 7 x             sin 7 x        5x  7
любых х, удовлетворяющих - π/2 < х < 0, в силу четности                     lim               = lim             •          =
                                                                             x → 0 sin 5x       x → 0 7 x          sin 5x  5
функций, входящих в это неравенство.                                     г)
                                                                                7         sin 7            5x          7           7
    Так как lim cos x = 1   и    lim1 = 1,                                   = lim               • lim             = • 1• 1 =
               x→0                     x→ 0                                     5 x → 0 7 x x → 0 sin 5x 5                          5
то в силу теоремы 3.4.3 о пределе промежуточной функции                  Замечание. В силу первого замечательного предела
из неравенств (3.6.2) следует справедливость первого            (3.6.1) и в силу рассмотренных примеров б) и в), по правилу
замечательного предела (3.6.1)                                  сравнения бесконечно малых можем заключить, что
      Примеры                                                   функции              у = х, у = sin x, y = tg x, y = arсsin x являются
             sin 5x                                             эквивалентными бесконечно малыми функциями при х →0.
         lim        . Сделаем замену t = 5x.
         x→0 x                                                  Им эквивалентной при х →0, также является функци у =
      а) П ри этом t 0 = lim 5x = 0                             arсtgx, в чем можете убедиться самостоятельно. Итак, х ∼
                          x→0                                   sin x ∼ tg x ∼ arсsin x ∼ arсtg x при х →0.
           sin 5x       5 sin t         sin t                            Отметим,             что        при          вычислении           пределов
        lim       = lim         = 5 lim       =5
        x→0 x       t →0 t         t →0 t                       эквивалентные бесконечно малые, бесконечно большие
                                                                функции можно заменять друг на друга, т.е. если
            tgx         sin x      1                            α1(х) ∼ γ1(х) и α2(х) ∼ γ2(х) при х → х0 и существует
        lim     = lim         •        =                                α (x )                                     γ (x )
        x→0 x      x→0 x         cos x                           lim 1          , то существует и lim 1                   , причем
     б)                                                         x→ x0 α (x )                                x → x0 γ (x )
              sin x           1                                          2                                           2
        = lim       • lim         = 1• 1 = 1                            α ( x)            γ ( x)
          x→0 x       x → 0 cos x                                lim 1           = lim 1          ,
                                                                 x → x0 α ( x )    x → x0 γ ( x )
                                                                         2                  2

            аrg sin x                                                    Действительно,
        lim           . Сделаем замену t = arg sin x.
        x→0     x                                                        α ( x)                α ( х) γ ( x) γ 2 ( х)                  α ( x)
                                                                   lim 1           = lim  1 • 1                   •          = lim 1 •
     в) П ри этом имеем х = sin t ,                              x → x 0 α2 ( x ) x → x 0  γ 1 ( х ) γ 2 ( x ) α 2 ( х )  x → x 0 γ 1 ( x )
         t0 = limarg sin x = 0                                             γ ( x)              γ ( x)                   γ ( х)               γ ( x)
              x→0                                               • lim 1            • lim 2              = 1 • lim 1             • 1 = lim 1
                                                  lim1             x →[ 0 γ 2 ( x ) x → x0 α 2 ( x )           x → x0 γ 2 ( х )       x → x0 γ 2 ( x )
         argsin x           t             1               1
     lim          = lim         = lim         = t →0     = =1            Рассмотрим                 пример             вычисления            предела
     x→0    x       t → 0 sin t   t → 0 sin t       sin t 1
                                               lim                     sin( x + 2 x )
                                                                             3
                                          t    t →0   t         lim 3
                                                                 x → 0 3x + x + x
                                                                                 2