ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Отметим, что (3.6.2) остается справедливым и для
любых х, удовлетворяющих - π/2 < х < 0, в силу четности
функций, входящих в это неравенство.
Так как limcos lim
xx
x и
→→
=
=
00
111,
то в силу теоремы 3.4.3 о пределе промежуточной функции
из неравенств (3.6.2) следует справедливость первого
замечательного предела (3.6.1)
Примеры
а)
lim
sin
..
р lim
lim
sin
lim
sin
lim
sin
x
x
xt t
x
x
Сделаем замену tx
Пиэтомtx
x
x
t
t
t
t
→
→
→→ →
=
==
===
0
0
0
00 0
5
5
50
55
55
б)
lim lim
sin
cos
lim
sin
lim
cos
xx
xx
tgx
x
x
xx
x
xx
→→
→→
=•=
=•=•=
00
00
1
1
11 1
в)
lim
sin
.argsin.
р sin ,
limargsin
x
x
аrg x
x
Сделаем замену tx
П и этом имеем х t
tx
→
→
=
=
==
0
0
0
0
lim
argsin
lim
sin
lim
sin
lim
lim
sin
xtt
t
t
x
x
t
t
t
t
t
t
→→→
→
→
=====
000
0
0
1
1
1
1
1
г)
lim
sin
sin
lim
sin
sin
lim
sin
lim
sin
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→→
→→
=•
=
=•=••=
00
00
7
5
7
7
5
5
7
5
7
5
7
7
5
5
7
5
11
7
5
Замечание. В силу первого замечательного предела
(3.6.1) и в силу рассмотренных примеров б) и в), по правилу
сравнения бесконечно малых можем заключить, что
функции у = х, у = sin x, y = tg x, y = arсsin x являются
эквивалентными бесконечно малыми функциями при х →0.
Им эквивалентной при х →0, также является функци у =
arсtgx, в чем можете убедиться самостоятельно. Итак, х ∼
sin x ∼ tg x ∼ arсsin x ∼ arсtg x при х →0.
Отметим, что при вычислении пределов
эквивалентные бесконечно малые, бесконечно большие
функции можно заменять друг на друга, т.е. если
α
1
(х) ∼ γ
1
(х) и α
2
(х) ∼ γ
2
(х) при х → х
0
и существует
lim
()
()
,lim
()
()
,
xx xx
x
x
то существует и
x
x
→→
00
1
2
1
2
α
α
γ
γ
причем
lim
()
()
lim
()
()
,
xx xx
x
x
x
x
→→
=
00
1
2
1
2
α
α
γ
γ
Действительно,
lim
()
()
lim
()
()
()
()
()
()
lim
()
()
xx xx xx
x
x
х
х
x
x
х
х
x
x
→→ →
=••
=•
00 0
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
α
α
α
γ
γ
γ
γ
α
α
γ
•
lim
()
()
[x
x
x
→
•
0
1
2
γ
γ
lim
()
()
lim
()
()
lim
()
()
xx xx xx
x
x
х
х
x
x
→→→
=• •=
000
2
2
1
2
1
2
11
γ
α
γ
γ
γ
γ
Рассмотрим пример вычисления предела
lim
sin( )
x
xx
xxx
→
+
++
0
3
32
2
3
Отметим, что (3.6.2) остается справедливым и для sin 7 x sin 7 x 5x 7
любых х, удовлетворяющих - π/2 < х < 0, в силу четности lim = lim • =
x → 0 sin 5x x → 0 7 x sin 5x 5
функций, входящих в это неравенство. г)
7 sin 7 5x 7 7
Так как lim cos x = 1 и lim1 = 1, = lim • lim = • 1• 1 =
x→0 x→ 0 5 x → 0 7 x x → 0 sin 5x 5 5
то в силу теоремы 3.4.3 о пределе промежуточной функции Замечание. В силу первого замечательного предела
из неравенств (3.6.2) следует справедливость первого (3.6.1) и в силу рассмотренных примеров б) и в), по правилу
замечательного предела (3.6.1) сравнения бесконечно малых можем заключить, что
Примеры функции у = х, у = sin x, y = tg x, y = arсsin x являются
sin 5x эквивалентными бесконечно малыми функциями при х →0.
lim . Сделаем замену t = 5x.
x→0 x Им эквивалентной при х →0, также является функци у =
а) П ри этом t 0 = lim 5x = 0 arсtgx, в чем можете убедиться самостоятельно. Итак, х ∼
x→0 sin x ∼ tg x ∼ arсsin x ∼ arсtg x при х →0.
sin 5x 5 sin t sin t Отметим, что при вычислении пределов
lim = lim = 5 lim =5
x→0 x t →0 t t →0 t эквивалентные бесконечно малые, бесконечно большие
функции можно заменять друг на друга, т.е. если
tgx sin x 1 α1(х) ∼ γ1(х) и α2(х) ∼ γ2(х) при х → х0 и существует
lim = lim • = α (x ) γ (x )
x→0 x x→0 x cos x lim 1 , то существует и lim 1 , причем
б) x→ x0 α (x ) x → x0 γ (x )
sin x 1 2 2
= lim • lim = 1• 1 = 1 α ( x) γ ( x)
x→0 x x → 0 cos x lim 1 = lim 1 ,
x → x0 α ( x ) x → x0 γ ( x )
2 2
аrg sin x Действительно,
lim . Сделаем замену t = arg sin x.
x→0 x α ( x) α ( х) γ ( x) γ 2 ( х) α ( x)
lim 1 = lim 1 • 1 • = lim 1 •
в) П ри этом имеем х = sin t , x → x 0 α2 ( x ) x → x 0 γ 1 ( х ) γ 2 ( x ) α 2 ( х ) x → x 0 γ 1 ( x )
t0 = limarg sin x = 0 γ ( x) γ ( x) γ ( х) γ ( x)
x→0 • lim 1 • lim 2 = 1 • lim 1 • 1 = lim 1
lim1 x →[ 0 γ 2 ( x ) x → x0 α 2 ( x ) x → x0 γ 2 ( х ) x → x0 γ 2 ( x )
argsin x t 1 1
lim = lim = lim = t →0 = =1 Рассмотрим пример вычисления предела
x→0 x t → 0 sin t t → 0 sin t sin t 1
lim sin( x + 2 x )
3
t t →0 t lim 3
x → 0 3x + x + x
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
