Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 52 стр.

                       x                       −y                       −y
              1            1                              y −1
        lim 1 +  = lim 1 −                    = lim                =           Если функция f(x) определена только при х > х0
       x → −∞  x   y → +∞
                             y                      y → +∞
                                                                y                (рис.3.7.1.) или только при х <х0 (рис.3.7.2.), то говорить о
                           y                          y
                y                 1                                            пределе функции f(x) при х → х0 в смысле данных выше
       = lim         = lim 1 +     =                                       определений нельзя, так как нет интервала (х0 - δ, х0 + δ ), на
         y → +∞ y − 1
                         y → +∞
                                   y −1                                          котором функция после доопределения в точке х0 была бы
                               y −1
                 1                             1                               непрерывной.
       = lim1 +                   • lim 1 +    = e • 1 = e
        y→∞
              y −1                    y →∞
                                              y −1                                        у                              у

                                        1
                                                x                                          а                    ϕ(х)       в
      Таким образом lim 1 +  = e                            (3.6.7)
                                x → - ∞    x                                                                                    ψ(х)
      Объединяя доказанные случаи (3.6.6) и (3.6.7),                                       о             х0     х          о          х0      х
получим справедливость второго замечательного предела
(3.6.6)
      Примеры.                                                                                 Рис. 3.7.1.                      Рис. 3.7.2.
                        1                    t
                                     1
      а) lim(1 + x ) x = lim 1 +  = e
          x→ 0                x →∞       t                                              Но тем не менее приведенные рисунки 3.7.1. и 3.7.2
                ln(1 + x )                       1                   1
                                                                                   наталкивают на мысль, что пределы функций ϕ (х) и ψ(х)
      б ) lim                 = limln(1 + x ) x = lnlim(1 + x ) x = ln e = 1       при х стремящемся к х0 равны соответственно а и в. При
           x→0       x            x→0                     x→0

               a −1
                 x                                                                 этом для ϕ (х) (рис. 3.7.1) х стремится к х0 справа, а для
      в) lim            . Сделаем замену t = a x − 1,                              ψ(х) (рис. 3.7.2.) х стремится к х0 слева.
          x→0      x
                                                                                         Определение 1. Предел функции f(x) справа (правый
                       ln(1 + t )                                                  предел) при х стремящемся к х0 справа (х → х0+)
      тогда x =                      и t0 = lim(a x − 1) = 0
                          ln a               x→0
                                                                                   определяется соотношением
            ax − 1               t ln a                   1              1                           lim f ( x ) = lim f ( x 0 + t ) (3.7.1)
      lim            = lim                = ln a                   = ln a = ln a                     x →x 0 +       t →0
       x→0     x        t → 0 ln(1 + t )                ln(1 + t )       1
                                                   lim                                     А предел функции f(x) слева (левый предел) при х
                                                   t →0     t
                                                                                          стремящемся к х0 слева (х→ х0-) определяется
                                                                                                           соотношением
        § 7 Односторонние пределы. Точки разрыва
                                                                                                 lim f ( x ) = lim f ( x 0 − t ) (3.7.2)
                     функции                                                                       x →x 0 −      t →0