Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 52 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

)7.6.3(e
x
1
1lim образом Таким
e1e
1y
1
1lim
1y
1
1lim
1y
1
1lim
1y
y
lim
y
1y
lim
y
1
1lim
x
1
1lim
x
-x
y
1y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
x
=
+
==
+
+=
=
+=
=
=
=
=
+
+∞+∞
+∞
+∞−∞
Объединяя доказанные случаи (3.6.6) и (3.6.7),
получим справедливость второго замечательного предела
(3.6.6)
Примеры.
а) lim( ) lim
x
x
x
t
x
t
e
→→
+= +
=
0
1
11
1
б
x
x
xxe
в
a
x
Сделаем замену ta
тогда x
t
a
и ta
a
x
ta
t
a
t
t
aa
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
t
t
)lim
ln( )
limln( ) lnlim( ) ln
)lim . ,
ln( )
ln
lim( )
lim lim
ln
ln( )
ln
lim
ln( )
ln ln
→→
→→
+
=+=+==
=−
=
+
=−=
=
+
=
+
==
00
1
0
1
0
0
0
00
0
1
111
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1
§ 7 Односторонние пределы. Точки разрыва
функции
Если функция f(x) определена только при х > х
0
(рис.3.7.1.) или только при х <х
0
(рис.3.7.2.), то говорить о
пределе функции f(x) при х х
0
в смысле данных выше
определений нельзя, так как нет интервала (х
0
- δ, х
0
+ δ ), на
котором функция после доопределения в точке х
0
была бы
непрерывной.
у
а
о х
ϕ
(х)
х
0
Рис. 3.7.1.
у
х х
0
о
в
ψ
(х)
Рис. 3.7.2.
Но тем не менее приведенные рисунки 3.7.1. и 3.7.2
наталкивают на мысль, что пределы функций ϕ (х) и ψ(х)
при х стремящемся к х
0
равны соответственно а и в. При
этом для ϕ (х) (рис. 3.7.1) х стремится к х
0
справа, а для
ψ(х) (рис. 3.7.2.) х стремится к х
0
слева.
Определение 1. Предел функции f(x) справа (правый
предел) при
х стремящемся к х
0
справа (х х
0
+)
определяется соотношением
)1.7.3()tx(flim)x(flim
0
0txx
0
+=
+
А предел функции f(x) слева (левый предел) при х
стремящемся к
х
0
слева (х х
0
-) определяется
соотношением
)2.7.3()tx(flim)x(flim
0
0txx
0
=