Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 53 стр.

      Отметим, что во введенных соотношениях (3.7.1) и           всех х ≠ х0, удовлетворяющих  х - х0 < δ, справедливо
(3.7.2) пределы, стоящие в правых частях, определены в           f(x) - b< ε. Тем самым, как для х0 - δ < х < х0, так и для
смысле введенных ранее определений. При этом аргумент            х0 < х < х0 + δ справедливо f(x) - b< ε. А это по
функции f(x) правой части (3.7.1) всегда больше х0, т.е.         определению           односторонних             пределов      означает
запись lim f ( x ) = b означает, что f(x) ≈ b для всех х > х0,   справедливость (3.7.3).
       x → x0 +
                                                                       Достаточность. Пусть справедливо (3.7.3) тогда
достаточно близких к х0. Аналогичные соображения можно
                                                                 согласно определению левого и правого предела для любого
высказать и для правой части (3.7.2), определяющего левый
предел.                                                          ε > 0 существуют соответственно δ1 >0 и δ2 >0 такие, что
     Определение       2.    Левый        и  правый    предел    для всех х, удовлетворяющих неравенствам                   х0 - δ1 < х <
объединяются общим названием "односторонние пределы".            х0 и х0 < х < х0 + δ2 выполняется f(x) - b< ε. Отсюда
Определению односторонних пределов можно дать                    следует, если выберем δ = minδ1,δ2, то для всех х ≠ х0,
равносильные определения "на языке ε - δ".                       удовлетворяющихх - х0< δ справедливо                      f(x) - b<
     Определение 3. Число b называется правым (левым)            ε. А это согласно определения предела означает
пределом функции f(x) при х→ х0+ (х→ х0-), если для              справедливость (3.7.4).
любого ε >0 существует δ >0 такое, что для всех,                       На основании теоремы 3.7.1. и определения 3
удовлетворяющих х0 < х < х0 + δ (х0 - δ < х < х0)                непрерывной           функции         сформулируем             условие
                                                                 непрерывности функции f(x) в точке х0 в виде следующей
выполняется f(x) - b<ε .
                                                                 теоремы.
     Равносильность определений 1 и 3 рекомендуем
установить самостоятельно.                                             Теорема 3.7.2. Для того, чтобы функция f(x) была
     Теорема 3.7.1. Для того, чтобы функция f(x) имела           непрерывной в х0 необходимо и достаточно выполнение
                                                                 условий:
предел при х → х0 необходимо и достаточно, чтобы при
                                                                       1) f(x) определена в точке х0;
х → х0 существовали равные правые и левые пределы, т.е.
                                                                       2) Существуют левый и правый пределы f(x) при
               lim f ( x ) = lim f ( x ) = b   (3.7.3)
                  x →x 0 +            x→x0 −                              х→ х0;
     И при этом предел функции равняется односторонним                 3) Справедливо
пределам, т.е.                                                              lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x 0 )    (3.7.5)
                                                                           x →x 0 +      x→x0 −
                    lim f ( x ) = b (3.7.4)
                             x →x 0                                   Определение 4. Если функция f(x) в точке х0 не
               Доказательство. Необходимость.                    является непрерывной, т.е. для нее не выполняется хотя бы
     Пусть справедливо (3.7.4). Тогда, по определению            одно из условий непрерывности функций (теорема 3.7.2.),
предела, для любого ε > 0 существует δ >0 такое, что для         то точка х0 называется точкой разрыва функции.