Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

у
о х
0
х
Рис. 3.7.10.
у
о х
0
х
Рис. 3.7.9.
Примеры
а) Функция у
x
x
=
sin
при х = 0 не определена, но тем
не менее
lim
sin
x
x
x
→
=
0
1
Таким образом точка х = 0 является устранимой
точкой разрыва.
б) Рассмотрим функцию у x
пих
пих
пих
==
+>
=
−<
sgn
р
р
р
10
00
10
Для этой функции х = 0 является точкой разрыва 1-го
рода, т.к. lim sgn ,
x
x
→+
=
0
1 limsgn ,
x
x
→−
=
−
0
1
в) Функция
у
x
=
−
1
1
имеет при х → 1 следующие
односторонние пределы
lim , lim
xx
xx
→− →+
−
=−∞
−
=+∞
10 1
1
1
1
1
Следовательно, точка х = 1 точка разрыва 2-го рода.
Замечание.
1)
Пределы при х →-∞ и при х → +∞ по аналогии с
определением 5 можем дать следующим образом
lim ( ) lim lim ( ) lim
xt xt
fx f
t
и fx f
t
→+∞ → + →−∞ → −
=
=
00
11
2)
Если
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→+
=
0
0
, то говорят, что функция
f(x) непрерывна в точке х
0
справа, и если
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→−
=
0
0
, то говорят, что функция f(x)
непрерывна в точке х
0
, слева.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Исследовать на непрерывность функции
а) f(x) = 3x б) f(x) = 3x
2
- 2х
в) f(x) = x
2
+ 4х +3 в точке х = 2
г) f(x) = x
3
- 5 в точке х = 1
д) f(x) = 2x
3
2.
Установить, какого рода разрыв в точке х = х
0
имеют
функции:
а) f(x) =
х x
х xx
+〈
−≥ =
22
12 2
2
0
,
,,
б) f(x) =
arctg
x
x
1
5
5
0
−
=,
в) f(x) =
1
12
0
1
0
+
=
х
х,
г) f(x) =
tgx x,
0
2
=
π
                 у                     у                                   1) Пределы при х →-∞ и при х → +∞ по аналогии с
                                                                              определением 5 можем дать следующим образом
                                                                                                     1                               1
                                                                               lim f ( x ) = lim f       и     lim f ( x ) = lim f  
                                                                              x →+∞          t → 0+  t        x →−∞          t → 0−  t 

                                                                           2) Если lim f ( x ) = f ( x0 ) , то говорят, что функция
                                                                                         x→ x0 +
                 о      х0      х      о      х0         х                    f(x) непрерывна в точке х0 справа, и если
                     Рис. 3.7.10.          Рис. 3.7.9.                         lim f ( x ) = f ( x0 ) , то говорят, что функция f(x)
                                                                              x → x0 −

                                                                              непрерывна в точке х0, слева.
     Примеры
                             sin x
     а) Функция у =                при х = 0 не определена, но тем          Упражнения для самостоятельного решения
                               x
                sin x                                                1. Исследовать на непрерывность функции
не менее lim          =1
           x→ 0   x                                                  а) f(x) = 3x          б) f(x) = 3x 2 - 2х
      Таким образом точка х = 0 является устранимой                  в) f(x) = x2 + 4х +3  в точке х = 2
                                                                                3
точкой разрыва.                                                      г) f(x) = x - 5       в точке х = 1
                                          + 1 п ри х > 0            д) f(x) = 2x3
                                          
      б) Рассмотрим функцию у = sgn x = 0     п ри х = 0
                                                                     2. Установить, какого рода разрыв в точке х = х0 имеют
                                          − 1 п р и х < 0
                                                                       функции:
      Для этой функции х = 0 является точкой разрыва 1-го                      х + 2 , x 〈 2
рода, т.к. lim sgn x = 1, lim sgn x = −1,                            а) f(x) =  2
          x→0+                 x →0−                                           х − 1, x ≥ 2 , x0 = 2
                             1                                                          1
     в) Функция у =                 имеет при х → 1 следующие        б) f(x) = arctg        , x0 = 5
                           x −1                                                       x−5
односторонние пределы                                                            1
                1                      1                             в) f(x) =      1 ,   х0 = 0
       lim          = −∞ ,     lim         = +∞                                1+ 2 х
     x → 1− 0 x − 1           x → 1+ x − 1

     Следовательно, точка х = 1 точка разрыва 2-го рода.                                       π
                                                                     г) f(x) = tgx , x0 =
     Замечание.                                                                                    2

Страницы