Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 55 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

у
о х
0
х
Рис. 3.7.10.
у
о х
0
х
Рис. 3.7.9.
Примеры
а) Функция у
x
x
=
sin
при х = 0 не определена, но тем
не менее
lim
sin
x
x
x
=
0
1
Таким образом точка х = 0 является устранимой
точкой разрыва.
б) Рассмотрим функцию у x
пих
пих
пих
==
+>
=
−<
sgn
р
р
р
10
00
10
Для этой функции х = 0 является точкой разрыва 1-го
рода, т.к. lim sgn ,
x
x
→+
=
0
1 limsgn ,
x
x
→−
=
0
1
в) Функция
у
x
=
1
1
имеет при х 1 следующие
односторонние пределы
lim , lim
xx
xx
→− →+
=−
=+
10 1
1
1
1
1
Следовательно, точка х = 1 точка разрыва 2-го рода.
Замечание.
1)
Пределы при х - и при х + по аналогии с
определением 5 можем дать следующим образом
lim ( ) lim lim ( ) lim
xt xt
fx f
t
и fx f
t
→+ + →−
=
=
00
11
2)
Если
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→+
=
0
0
, то говорят, что функция
f(x) непрерывна в точке х
0
справа, и если
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→−
=
0
0
, то говорят, что функция f(x)
непрерывна в точке х
0
, слева.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Исследовать на непрерывность функции
а) f(x) = 3x б) f(x) = 3x
2
- 2х
в) f(x) = x
2
+ 4х +3 в точке х = 2
г) f(x) = x
3
- 5 в точке х = 1
д) f(x) = 2x
3
2.
Установить, какого рода разрыв в точке х = х
0
имеют
функции:
а) f(x) =
х x
х xx
+〈
−≥ =
22
12 2
2
0
,
,,
б) f(x) =
arctg
x
x
1
5
5
0
=,
в) f(x) =
1
12
0
1
0
+
=
х
х,
г) f(x) =
tgx x,
0
2
=
π