Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 56 стр.

3. Следующие функции требуется доопределить в точке              sin x
    х = 0 так, чтобы они стали непрерывными:          в) f(x) =           п ри х → 0
                                                                   x
            tgx                                       6. Доказать, что функция
 а) f(x) =
             x                                                х + 1, п ри 0 ≤ x < 1
           5х 2 − 3х                                  f(x) = 
б) f(x) =                                                    3х + 2, п ри 1 < x < 3
               2х                                     при х → 1 имеет предел слева, равный 2, и предел справа,
             1+ х − 1                                 равный 5.
в) f(x) =
                 х
                2
             sin x                                    7. Доказать, что функции:
г) f(x) =                                                       2х − 4
           1 − cos x                                  а) f(x) = 2             п ри х → 2
                                                                 x +5
4. Используя определение предела, доказать, что:                                    1
                                                      б) f(x) = ( х − 1) 2 *sin 3         п ри х → 1
        2n − 1                                                                    x −1
а) lim         =2                                               3х − 12
   n →∞ n + 3
                                                      в) f(x) =                 п ри х → 4
б) lim(3x − 4) = 11                                             2x 2 + 7
   x →5
                                                                sin x
в) lim( x 2 − 3) = 1                                  г) f(x) =             п ри х → ∞
   x→2                                                             x
         5х + 1 5                                     являются бесконечно малыми.
г) lim            =
   x →∞ 3х + 9      3
             1                                        8. Сравнить с бесконечно малой ϕ(х) = х следующие
д) lim           2 = +∞                                  бесконечно малые при х → 0 функции:
    x →1 (1 − х)

е) lim log a x = ∞ (a > 1)                            а) f(x) = tgx3
   x →∞                                               б) f(x) =   3
                                                                      sin 2 x
                                                      в) f(x) =       9+х −3
5. Найти односторонние пределы функций:
           1                                                                                               1
а) f(x) =     1   при х → 0                           9. Доказать, что бесконечно малые α = х и β = хcos     (при
          2−2 х                                                                                            х
            1                                            х → 0) несравнимы между собой.
б) f(x) = е х     при х → 0