Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

По характеру нарушения условий непрерывности
функции производится классификация точек разрыва
функции.
Определение 5. Если функция f(x) не является
непрерывной в точке
х
0
и в то же время имеет конечный
предел при
х→ х
0
, то говорят, что она имеет в точке х
0
устранимый разрыв (устранимая точка разрыва).
Таким образом точка
х
0
будет устранимой точкой
разрыва
f(x) в двух случаях: если функция f(x) не
определена в точке
х
0
и если функция f(x) определена в
точке
х
0
, но тем не менее
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→
≠
0
0
.
На рис. 3.7.3. и 3.7.4. приведены эти случаи.
у
о х х
0
f(x)
Рис. 3.7.3.
у
f(x
0
)
o x
0
x
f(x)
Рис. 3.7.4.
Определение 6. Точка х
0
называется точкой разрыва
функции
f(x) 1-го рода, если в этой точке функция f(x)
имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый
пределы, т.е. lim ( ) lim ( )
xx xx
fx fx
→+ →−
≠
00
На рис. 3.7.5. - 3.7.8. приведены возможные случаи
точек разрыва 1-го рода
у
f(x
0
)
o x
0
x
Рис. 3.7.5
у
f(x
0
)
o x
0
x
x
Рис. 3.7.6.
у
f(x
0
)
o x
0
x
Рис. 3.7.7.
у
о х
0
х
Рис. 3.7.8.
Определение 7. Точка х
0
называется точкой разрыва
2-го рода функции f(x), если в этой точке функции f(x) не
имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов
или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
На рис. 3.7.9. и 3.7.10 приведены некоторые случаи
точек разрыва 2-го рода 
     По характеру нарушения условий непрерывности
функции производится классификация точек разрыва                                  у
функции.                                                                                                              у
     Определение 5. Если функция f(x) не является                               f(x0)
непрерывной в точке х0 и в то же время имеет конечный                                                             f(x0)
предел при х→ х0, то говорят, что она имеет в точке х0
устранимый разрыв (устранимая точка разрыва).
     Таким образом точка х0 будет устранимой точкой
разрыва f(x) в двух случаях: если функция f(x) не                                 o           x0          x           o        x0            x
определена в точке х0 и если функция f(x) определена в                                                            x
                                                                                        Рис. 3.7.5                        Рис. 3.7.6.
точке х0, но тем не менее lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) .
                                  x→ x0

     На рис. 3.7.3. и 3.7.4. приведены эти случаи.


                                                у                                  у                                  у
      у                                      f(x0)
                                                                                f(x0)
                           f(x)                                    f(x)

      о           х0        х                   o        x0         x             o                  x0       x       о             х0   х
                                                                                         Рис. 3.7.7.                       Рис. 3.7.8.
             Рис. 3.7.3.                             Рис. 3.7.4.

     Определение 6. Точка х0 называется точкой разрыва                         Определение 7. Точка х0 называется точкой разрыва
функции f(x) 1-го рода, если в этой точке функция f(x)                    2-го рода функции f(x), если в этой точке функции f(x) не
имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый                    имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов
пределы, т.е. lim f ( x ) ≠ lim f ( x )                                   или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
             x → x0 +             x → x0 −

     На рис. 3.7.5. - 3.7.8. приведены возможные случаи
точек разрыва 1-го рода                                                        На рис. 3.7.9. и 3.7.10 приведены некоторые случаи
                                                                          точек разрыва 2-го рода

Страницы