Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 54 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

По характеру нарушения условий непрерывности
функции производится классификация точек разрыва
функции.
Определение 5. Если функция f(x) не является
непрерывной в точке
х
0
и в то же время имеет конечный
предел при
х х
0
, то говорят, что она имеет в точке х
0
устранимый разрыв (устранимая точка разрыва).
Таким образом точка
х
0
будет устранимой точкой
разрыва
f(x) в двух случаях: если функция f(x) не
определена в точке
х
0
и если функция f(x) определена в
точке
х
0
, но тем не менее
lim ( ) ( )
xx
fx fx
0
0
.
На рис. 3.7.3. и 3.7.4. приведены эти случаи.
у
о х х
0
f(x)
Рис. 3.7.3.
у
f(x
0
)
o x
0
x
f(x)
Рис. 3.7.4.
Определение 6. Точка х
0
называется точкой разрыва
функции
f(x) 1-го рода, если в этой точке функция f(x)
имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый
пределы, т.е. lim ( ) lim ( )
xx xx
fx fx
→+ →−
00
На рис. 3.7.5. - 3.7.8. приведены возможные случаи
точек разрыва 1-го рода
у
f(x
0
)
o x
0
x
Рис. 3.7.5
у
f(x
0
)
o x
0
x
x
Рис. 3.7.6.
у
f(x
0
)
o x
0
x
Рис. 3.7.7.
у
о х
0
х
Рис. 3.7.8.
Определение 7. Точка х
0
называется точкой разрыва
2-го рода функции f(x), если в этой точке функции f(x) не
имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов
или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
На рис. 3.7.9. и 3.7.10 приведены некоторые случаи
точек разрыва 2-го рода