Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 51 стр.

     Так как sin (x3 + 2x) ∼ x3 + 2x при х →0, то имеем                                                                 1
                                                                                                                                  [ x ]+1
                                                                                                                                                        1
                                                                                                                                                              [ x]
                                                                                                                                                                        1
           sin( x 3 + 2 x )           x3 + 2 x           x2 + 2                                   lim V ( x) = lim 1 +                    = lim 1 +              1 +  =
     lim 3                  = lim 3            = lim 2            =                              x →+∞        x →+∞   [ x ]                x →+∞      x           [ x ]
     x → 0 3x + x + x         x → 0 3x + x + x   x → 0 3x + x + 1
                    2                      2
                                                                                                                      [ x]
           0+2                                                                                                 1                1
     =               =2                                                                         = lim 1 +           lim 1 +  = e * 1 = e
        0+ 0+1                                                                                     x →∞      [ x] x →+∞ [ x]
                                                                                                При х > 1 имеем [x] ≤ x < [x] + 1
                     Второй замечательный предел                                                Отсюда получим:
                              x
                         1                                                                      1      1        1
                   lim 1 +  = e           (3.6.3)                                                   ≥ >           ,
                   x → ∞  x                                                                   [ x] x [ x] + 1
                                                 n                                                     1         1          1
                          1                                                                   1+         ≥ 1+ > 1+             ,
     По определению lim 1 +  = e   (3.6.4)                                                         [ x]        x      [ x] + 1
                    n → ∞  n
                                                                                                            [ x ]+1           x                     [ x]
     Здесь при n→∞ n принимает только целые значения.                                               1                    1        1 
Введем функции                                                                                   1 +                ≥ 1 +  > 1 +       
                                                                                                  [ x ]                  x    [ x ] + 1
                                [ x]                                        [ x ]+1
                      1                                  1                                                                                      x
      u( x ) =  1 +                  и     v( x ) =  1 +                                                                       1
                [ x ] + 1                            [ x ]                                  Таким образом имеем U ( x ) <  1 +  ≤ V ( x ) .
                                                                                                                                   x
где [x] целая часть числа х. Для этих функций справедливо
                                                                                                   Отсюда, учитывая (3.6.5) в силу теоремы 3.4.3 о
                     lim u ( x ) = e, lim v( x ) = e (3.6.5)                                пределе промежуточной функции, следует справедливость
                     x → +∞                  x → +∞
                                                                                                                      x
      Действительно, учитывая (3.16) и положив при этом n                                                        1
= [x] получим                                                                                              lim 1 +  = e        (3.6.6)
                                                                              [ x ]+1
                                                                                                          x → +∞  x
                                                                       1                                                                                                x
                                                [x]            1 +                                                                        1
                                 1                               [ x ] + 1                   Пусть теперь х <-1. Рассмотрим предел lim1+                                  ,
      lim U ( x ) = lim  1 +                        = lim                             =                                              x→−∞ x
      x → +∞        x → +∞   [ x ] + 1                x → +∞             1
                                                                  1+                        сделав при этом замену у = -х
                                                                       [ x] + 1
                               [ x ]+1
                       1 
         lim  1 +            
        x → +∞     [ x ] + 1               e
      =                                  =     = e
                          1                1
            lim  1 +           
           x → +∞     [ x ] + 1