Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 51 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Так как sin (x
3
+ 2x) x
3
+ 2x при х 0, то имеем
lim
sin( )
lim lim
xxx
xx
xxx
xx
xxx
x
xx
→→
+
++
=
+
++
=
+
++
=
=
+
+
+
=
0
3
32
0
3
32
0
2
2
2
3
2
3
2
31
02
001
2
Второй замечательный предел
)3.6.3(e
x
1
1lim
x
x
=
+
По определению )4.6.3(e
n
1
1lim
n
n
=
+
Здесь при n→∞ n принимает только целые значения.
Введем функции
ux
x
и vx
x
xx
()
[]
()
[]
[] []
=+
+
=+
+
1
1
1
1
1
1
где [x] целая часть числа х. Для этих функций справедливо
)5.6.3(e)x(vlim,e)x(ulim
xx
=
=
+∞+∞
Действительно, учитывая (3.16) и положив при этом n
= [x] получим
lim ( ) lim
[]
lim
[]
[]
lim
[]
lim
[]
[]
[]
[]
xx
x
x
x
x
x
x
Ux
x
x
x
x
x
e
e
→+ →+ →+
+
→+
+
→+
=+
+
=
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
==
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
lim ( ) lim
[]
lim
[]
lim
[]
lim
[]
*
[]
[]
[]
xx
x
x
x
x
x
x
Vx
xxx
xx
ee
→+ →+
+
→+
→∞ →+
=+
=+
+
=
=+
+
==
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
При х > 1 имеем [x] x < [x] + 1
Отсюда получим:
11 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
[] []
,
[] []
,
[] []
[] []
xxx
xxx
xxx
x
x
x
≥>
+
+≥+>+
+
+
≥+
>+
+
+
Таким образом имеем
Ux
x
Vx
x
() ()<+
1
1
.
Отсюда, учитывая (3.6.5) в силу теоремы 3.4.3 о
пределе промежуточной функции, следует справедливость
)6.6.3(e
x
1
1lim
x
x
=
+
+∞
Пусть теперь х <-1. Рассмотрим предел
lim
x
x
x
→−∞
+
1
1
,
сделав при этом замену у = -х