Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

(
)
1
2
3
000
000
0
0
0
) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ),
) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ),
)lim
()
()
lim ( )
lim ( )
,
xx xx xx
xx xx xx
xx
xx
xx
fx gx fx gx
fx gx fx gx
fx
gx
fx
gx
→→→
→→→
→
→
→
±= ±
•= •
=
при условии, что lim ( )
xx
gx
→
≠
0
0
Доказательство. Пусть lim ( ) lim ( )
xx xx
fx bи gx с
→→
=
=
00
.
Тогда согласно первому определению предела функции
Fx
fx пиxx
b пи xx
и Gx
gx пих х
c пих х
()
() р
р
()
() р
р
=
≠
=
=
≠
=
0
0
0
0
непрерывны в точке х
0.
В силу свойств непрерывных
функций (теоремы 2 и 3) функции F(x) ± G(x), F(x)*G(x),
Fx
Gx
()
()
непрерывны в точке х
0
.
1)
F(x) ± G(x) =
fx gx пих х
bc пих х
() () р
р
±≠
±=
0
0
Отсюда следует в силу непрерывности F(x) ± G(x) и
первого определения предела
lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
xx xx xx
f x gx b c f x gx
→→→
±
=±=
±
000
2)
F(x)*G(x) =
fx gx пих х
bc пих х
()* () р
* р
≠
=
0
0
Отсюда следует в силу непрерывности F(x)*G(x) и
первого определения предела
lim ( * ( ) * lim ( ) lim ( )
)
()
()
()
()
р
р
xx xx xx
fx gx bc fx gx
Fx
Gx
fx
gx
пих х
b
c
пих х
→→→
=
=
=
≠
=
000
0
3
0
0
Отсюда следует в силу непрерывности
Fx
Gx
()
()
и
первого определения предела
lim
()
()
lim ( )
lim ( )
xx
xx
xx
fx
gx
b
c
fx
gx
→
→
→
==
0
0
0
Следствие. Если
lim ( )
xx
fx b
→
=
0
, k - постоянное число
(выражение не зависящее от х), то справедливо
lim ( ) lim ( )
xx xx
kf x k f x
→→
=
00
Теорема 3.4.2. Если существует lim ( )
xx
gx t
→
=
0
0
, а
функция
у = f(t) непрерывна в точке t
0
, то
lim (()) (lim ())
xx xx
fgx f gx
→→
=
00
Доказательство. Введем непрерывную в точке х
0
функцию
Gx
gx пих х
t пих х
()
() р
р
=
≠
=
0
00
Сложная функция f(G(x)) в силу теоремы 1
непрерывна в точке х
0
. При этом
fGx
fgx пих х
ft пих х
(())
(()) р
() р
=
≠
=
0
00
      1) lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ),                              lim f ( x 0 * g ( x ) = b * c = lim f ( x ) lim g ( x )
                                                                                             x → x0                               x → x0     x → x0
          x → x0                     x → x0              x → x0
      2) lim f ( x ) • g ( x ) = lim f ( x ) • lim g ( x ),                                               f ( x)
                                                                                                                              п ри х ≠ х0
          x → x0                    x → x0             x → x0                                   F ( x )  g ( x )
                                                                                             3)        =
                         lim f ( x )                                                            G( x) b
               f ( x ) x → x0
                                                                                                          c                 п ри х = х0
      3) lim           =             ,
        x → x0 g ( x )   lim g ( x )
                           x → x0                                                                                                                               F (x )
                                                                                             Отсюда следует в силу непрерывности                                         и
                                                                                                                                                                G (x )
при условии, что lim g ( x ) ≠ 0                                                    первого определения предела
                                                                                               f ( x ) b xlim   f (x )
                      x → x0
                                                                                                           → x0
     Доказательство. Пусть                    lim f ( x ) = b и lim g ( x ) = с .        lim          = =
                                              x → x0                 x → x0              x→ x0 g (x )  c lim g ( x )
                                                                                                                 x→ x0
Тогда согласно первому определению предела функции
            f (x) при x ≠ x0            g(x) при х ≠ х0                                    Следствие. Если lim f ( x ) = b , k - постоянное число
                                                                                                                        x→ x0
     F(x) =                  и   G(x) = 
            b     при x = x0            c    при х = х0                           (выражение не зависящее                           от    х),       то   справедливо
                                                                                     lim k f ( x ) = k lim f ( x )
                                                                                    x → x0              x → x0
непрерывны в точке х0. В силу свойств непрерывных                                            Теорема 3.4.2. Если существует                            lim g ( x ) = t0 , а
функций (теоремы 2 и 3) функции F(x) ± G(x), F(x)*G(x),                                                                                                x→ x0

 F (x )                                                                             функция у = f(t) непрерывна в точке t0, то
         непрерывны в точке х0.                                                          lim f ( g ( x )) = f ( lim g ( x ))
G (x )                                                                                       x → x0                  x → x0

                          f (x ) ± g (x ) п р и х ≠ х0                                  Доказательство. Введем непрерывную в точке х0
        1) F(x) ± G(x) =                                                           функцию
                         b ± c            п р и х = х0
                                                                                                    g ( x )       п р и х ≠ х0
     Отсюда следует в силу непрерывности F(x) ± G(x) и                                   G (x ) = 
первого определения предела                                                                         t0            п р и х = х0
     lim ( f ( x ) ± g ( x )) = b ± c = lim f ( x ) ± lim g ( x )                        Сложная функция f(G(x)) в силу теоремы 1
      x → x0                                 x → x0         x → x0
                                                                                    непрерывна в точке х0. При этом
                     f (x ) * g (x ) п р и х ≠ х0
     2) F(x)*G(x) =                                                                                     f ( g ( x ))      п р и х ≠ х0
                    b * c            п р и х = х0                                       f ( G ( x )) = 
                                                                                                         f ( t0 )         п р и х = х0
     Отсюда следует в силу непрерывности F(x)*G(x) и
первого определения предела

Страницы