Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 41 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

требовалось доказать. Аналогично доказывается случай
f(x ) < 0 (в качестве ε выбирается ε = -f(x
0
) > 0). Данная
теорема имеет наглядное геометрическое представление
(рис. 3.2.1.)
у
х
f(x)
f(x
0
)
0
x
0
-
δ
x
0
x x
0
+
δ
Рис. 3.2.1.
§ 3 Предел функции при х
х
0
Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки х
0
за исключением, быть может, самой
точки. Если в точке х
0
функция f(x) не определена, то
бывает возможным приписать в точке х
0
функции f(x)
некоторое значение
b такое, что функция f(x) становится
непрерывной в точке х
0
. В этом случае говорят:
"Доопределить функцию f(x) по непрерывности в точке х
0
".
Определение 1. (первое определение предела). Число
b называется пределом функции f(x) при х х
0
, если
функция F(x) =
fx пих х
b пих х
() р
р
=
0
0
(3.3.1)
непрерывна в точке х
0
.
Символически это записывается так:
lim ( )
xx
fx b
=
0
(3.3.3)
Например, если функция f(x) непрерывна в точке х
0
, то
считая b = f(x
0
), получим, что F(x) = f(x), и следовательно,
для любой непрерывной в точке х
0
функции справедливо
lim ( ) ( )
xx
fx fx
=
0
0
(3.3.4)
Отметим, что сказанное справедливо и в обратную
сторону.
Таким образом можно непрерывность функции в
точке определить следующим образом.
Определение 2. Функция f(x) называется
непрерывной в точке х
0
, если функция в этой точке и в
некоторой ее окрестности определена и если справедливо
(3.3.4).
Пример 1. а) lim(5 ) ) limsin
xx
x б x
→−
+
=
=
10
32 0
Здесь в а) и б) функции непрерывны всюду.
Пример 2. Рассмотрим функцию fx
xx
x
()=
+−
2
2
23
1
.
Она не определена в точке х
0
= 1. Доопределим эту
функцию в точке х
0
= 1 по непрерывности, т.е. найдем ее
предел при х стремящемся к 1. Для этого найдем функцию
F(x) = f(x) при х 1 и непрерывную при х = 1. При х 1
имеем
fx
xx
x
хх
хх
х
х
()
()()
()()
=
+−
=
−+
+−
=
+
+
2
2
23
1
13
11
3
1
. Полученная
дробь непрерывна в точке х = 1. Действительно, в числителе
и знаменателе этой дроби стоят линейные функции,
которые непрерывны всюду, а знаменатель при х = 1 не
обращается в 0. Следовательно, в силу свойства
непрерывных функций следует непрерывность этой дроби