Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 41 стр.

требовалось доказать. Аналогично доказывается случай         Символически это записывается так: lim f (x) = b               (3.3.3)
                                                                                                        x→x0
f(x ) < 0 (в качестве ε выбирается ε = -f(x0) > 0). Данная
                                                               Например, если функция f(x) непрерывна в точке х0, то
теорема имеет наглядное геометрическое представление
                                                             считая b = f(x0), получим, что F(x) = f(x), и следовательно,
(рис. 3.2.1.)
                                                              для любой непрерывной в точке х0 функции справедливо
       у                                                                   lim f ( x ) = f ( x0 )     (3.3.4)
                                                                            x → x0

                                                                   Отметим, что сказанное справедливо и в обратную
     f(x)                                                    сторону.
     f(x0)                                                         Таким образом можно непрерывность функции в
                                                             точке определить следующим образом.
                                                                   Определение      2.     Функция    f(x)     называется
                                                             непрерывной в точке х0, если функция в этой точке и в
                                                             некоторой ее окрестности определена и если справедливо
       0        x0-δ   x0 x x0 + δ   х                       (3.3.4).
                                                                   Пример 1. а) lim (5x + 3) = −2  б ) limsin x = 0
                                                                                     x → −1                    x→ 0
                Рис. 3.2.1.
                                                                   Здесь в а) и б) функции непрерывны всюду.
             § 3 Предел функции при х → х0                                                                            x 2 + 2x − 3
                                                                   Пример 2. Рассмотрим функцию                f (x ) =            .
                                                                                                                          x2 − 1
     Пусть функция f(x) определена в некоторой               Она не определена в точке х0 = 1. Доопределим эту
окрестности точки х0 за исключением, быть может, самой       функцию в точке х0 = 1 по непрерывности, т.е. найдем ее
точки. Если в точке х0 функция f(x) не определена, то        предел при х стремящемся к 1. Для этого найдем функцию
бывает возможным приписать в точке х0 функции f(x)           F(x) = f(x) при х ≠ 1 и непрерывную при х = 1. При х ≠ 1
некоторое значение b такое, что функция f(x) становится                      x 2 + 2 x − 3 ( х − 1)( х + 3) х + 3
                                                             имеем f ( x ) =              =                 =      . Полученная
непрерывной в точке х0. В этом случае говорят:                                   x2 − 1     ( х + 1)( х − 1) х + 1
"Доопределить функцию f(x) по непрерывности в точке х0".     дробь непрерывна в точке х = 1. Действительно, в числителе
     Определение 1. (первое определение предела). Число      и знаменателе этой дроби стоят линейные функции,
b называется пределом функции f(x) при х → х0, если          которые непрерывны всюду, а знаменатель при х = 1 не
                f ( x ) п ри х ≠ х0                         обращается в 0. Следовательно, в силу свойства
функция F(x) =                       (3.3.1)                непрерывных функций следует непрерывность этой дроби
               b        п ри х = х0
непрерывна в точке х0.