ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
требовалось доказать. Аналогично доказывается случай
f(x ) < 0 (в качестве ε выбирается ε = -f(x
0
) > 0). Данная
теорема имеет наглядное геометрическое представление
(рис. 3.2.1.)
у
х
f(x)
f(x
0
)
0
x
0
-
δ
x
0
x x
0
+
δ
Рис. 3.2.1.
§ 3 Предел функции при х
→
х
0
Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки х
0
за исключением, быть может, самой
точки. Если в точке х
0
функция f(x) не определена, то
бывает возможным приписать в точке х
0
функции f(x)
некоторое значение
b такое, что функция f(x) становится
непрерывной в точке х
0
. В этом случае говорят:
"Доопределить функцию f(x) по непрерывности в точке х
0
".
Определение 1. (первое определение предела). Число
b называется пределом функции f(x) при х → х
0
, если
функция F(x) =
fx пих х
b пих х
() р
р
≠
=
0
0
(3.3.1)
непрерывна в точке х
0
.
Символически это записывается так:
lim ( )
xx
fx b
→
=
0
(3.3.3)
Например, если функция f(x) непрерывна в точке х
0
, то
считая b = f(x
0
), получим, что F(x) = f(x), и следовательно,
для любой непрерывной в точке х
0
функции справедливо
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→
=
0
0
(3.3.4)
Отметим, что сказанное справедливо и в обратную
сторону.
Таким образом можно непрерывность функции в
точке определить следующим образом.
Определение 2. Функция f(x) называется
непрерывной в точке х
0
, если функция в этой точке и в
некоторой ее окрестности определена и если справедливо
(3.3.4).
Пример 1. а) lim(5 ) ) limsin
xx
x б x
→− →
+
=
−
=
10
32 0
Здесь в а) и б) функции непрерывны всюду.
Пример 2. Рассмотрим функцию fx
xx
x
()=
+−
−
2
2
23
1
.
Она не определена в точке х
0
= 1. Доопределим эту
функцию в точке х
0
= 1 по непрерывности, т.е. найдем ее
предел при х стремящемся к 1. Для этого найдем функцию
F(x) = f(x) при х ≠ 1 и непрерывную при х = 1. При х ≠ 1
имеем
fx
xx
x
хх
хх
х
х
()
()()
()()
=
+−
−
=
−+
+−
=
+
+
2
2
23
1
13
11
3
1
. Полученная
дробь непрерывна в точке х = 1. Действительно, в числителе
и знаменателе этой дроби стоят линейные функции,
которые непрерывны всюду, а знаменатель при х = 1 не
обращается в 0. Следовательно, в силу свойства
непрерывных функций следует непрерывность этой дроби
требовалось доказать. Аналогично доказывается случай Символически это записывается так: lim f (x) = b (3.3.3) x→x0 f(x ) < 0 (в качестве ε выбирается ε = -f(x0) > 0). Данная Например, если функция f(x) непрерывна в точке х0, то теорема имеет наглядное геометрическое представление считая b = f(x0), получим, что F(x) = f(x), и следовательно, (рис. 3.2.1.) для любой непрерывной в точке х0 функции справедливо у lim f ( x ) = f ( x0 ) (3.3.4) x → x0 Отметим, что сказанное справедливо и в обратную f(x) сторону. f(x0) Таким образом можно непрерывность функции в точке определить следующим образом. Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если функция в этой точке и в некоторой ее окрестности определена и если справедливо 0 x0-δ x0 x x0 + δ х (3.3.4). Пример 1. а) lim (5x + 3) = −2 б ) limsin x = 0 x → −1 x→ 0 Рис. 3.2.1. Здесь в а) и б) функции непрерывны всюду. § 3 Предел функции при х → х0 x 2 + 2x − 3 Пример 2. Рассмотрим функцию f (x ) = . x2 − 1 Пусть функция f(x) определена в некоторой Она не определена в точке х0 = 1. Доопределим эту окрестности точки х0 за исключением, быть может, самой функцию в точке х0 = 1 по непрерывности, т.е. найдем ее точки. Если в точке х0 функция f(x) не определена, то предел при х стремящемся к 1. Для этого найдем функцию бывает возможным приписать в точке х0 функции f(x) F(x) = f(x) при х ≠ 1 и непрерывную при х = 1. При х ≠ 1 некоторое значение b такое, что функция f(x) становится x 2 + 2 x − 3 ( х − 1)( х + 3) х + 3 имеем f ( x ) = = = . Полученная непрерывной в точке х0. В этом случае говорят: x2 − 1 ( х + 1)( х − 1) х + 1 "Доопределить функцию f(x) по непрерывности в точке х0". дробь непрерывна в точке х = 1. Действительно, в числителе Определение 1. (первое определение предела). Число и знаменателе этой дроби стоят линейные функции, b называется пределом функции f(x) при х → х0, если которые непрерывны всюду, а знаменатель при х = 1 не f ( x ) п ри х ≠ х0 обращается в 0. Следовательно, в силу свойства функция F(x) = (3.3.1) непрерывных функций следует непрерывность этой дроби b п ри х = х0 непрерывна в точке х0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »