Курс общей физики. Миловидова С.Д - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
совершать гармонические колебания под действием силы упругости
пружины F= – kx. Однако гармонические колебания возникают под
действием не только упругих , но и других сил, по природе не упругих , но
для которых остается справедливым закон F= – kx Такие силы получили
название квазиупругих .
Как известно , движение системы под действием силы описывается 2-
м законом Ньютона : ma =F,
где a - ускорение колеблющейся системы (
2
2
dt
xd
a =
), а F= – kx для
гармонических колебаний . Тогда второй закон Ньютона будет иметь вид
неполного дифференциального уравнения второго порядка
0
2
2
=+ kx
dt
xd
m
, (3)
которое называют уравнением движения классического осциллятора .
Решением данного уравнения (3) является выражение (1), что
нетрудно проверить, дифференцируя дважды (1) по времени и подставляя
в уравнение (3). При этом получим , что
.
2
m
k
=ω
, (4)
ω называется собственной частотой колебаний системы (точки или
тела ).
Рассмотрим некоторые из классических гармонических
осцилляторов.
Математический маятник
Математическим маятником называют систему, состоящую из
невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешен шарик, масса
которого сосредоточена в одной точке (рис.2). В положении равновесия на
шарик действуют две силы : сила тяжести P=mg и сила натяжения нити N -
равные по величине и направленные в противоположные стороны .
Если маятник отклонить от положения равновесия на
небольшой угол α , то он начнет совершать колебания в
вертикальной плоскости под действием составляющей
силы тяжести P
t
, которую называют тангенциальной
составляющей (нормальная составляющая силы тяжести
P
n
будет уравновешиваться силой натяжения нити N ).
Из рис.2 видно , что тангенциальная составляющая силы
тяжести
α
sin
Ρ
−
=
Ρ
t
.
Знак минус показывает, что сила , вызывающая
колебательное движение, направлена в сторону
уменьшения угла α .
Если угол α мал, то синус можно заменить самим
углом , тогда
α
α
mg
t
−
=
−
=
,
С другой стороны , из рис.3 видно, что угол α можно
записать через длину дуги x и радиус
l
:
l
x
=α
,
Рис.2
n
P
r
l
P
r
N
r
α
α
N
r
t
P
r
P
r
                                           5
соверш а ть га рмонические колеба ния под дей ствием силы            у пру гости
пру жины F= – kx. О дна ко га рмонические колеба ния воз           ника ю т под
дей ствием не только у пру гих , но и дру гих сил, по природе не у пру гих , но
для которы х оста ется спра ведливы м з  а кон F= – kx Т а кие силы полу чили
на зва ние ква зиупруг их .
        К а к из
               вестно, движение системы под дей ствием силы описы ва ется 2-
мз  а коном Н ью тона :                      ma =F,
                                                       d 2x
где a - у скорение колеблю щ ей ся системы ( a = 2 ), а F= – kx для
                                                       dt
га рмонических колеба ний . Т огда второй з   а кон Н ью тона бу дет иметь вид
неполного диф ф еренциа льного у равнения второго порядка
                                      d 2x
                                  m        + kx = 0 ,                              (3)
                                      dt 2
которое на з   ы ва ю ту ра внением движения кла ссическогоосциллятора .
        Реш ением да нного у равнения (3) является вы ра жение (1), что
нетру дно проверить, диф ф еренциру я два жды (1) по времени и подставляя
                                                                       k
ву ра внение (3). П ри этом полу чим, что                        ω2 = . ,            (4)
                                                                       m
ω       на зы ва ется собственной частотой колеба ний системы (точки или
тела ).
        Ра ссмотрим         некоторы е     из классических              гармонических
осцилляторов.
                             М ат ем ат ический маят ник
      М а тематическим ма ятником на з         ы ва ю т систему , состоящ у ю из
невесомой и нера стяжимой нити, на которой подвеш ен ш а рик, ма сса
которого сосредоточена в одной точке (рис.2). В положении ра вновесия на
ш а рик дей ству ю тдве силы : сила тяжести P=mg и сила на тяжения нити N -
ра вны е по величине и на пра вленны е впротивоположны е стороны .
                       Е сли ма ятник отклонить от положения ра вновесия на
                       небольш ой у гол α, то он на чнет соверш а ть колеба ния в
                       вертика льной плоскости под дей ствием соста вляю щ ей
     α                 силы тяжести Pt, котору ю на з         ы ва ю т та нгенциа льной
           lr          соста вляю щ ей (норма льна я составляю щ а я силы тяжести
 r                     Pn бу дету равновеш иваться силой на тяжения нити N).
N            N         И зрис.2 видно, что та нгенциа льна я соста вляю щ а я силы
                       тяжести                   Ρt = −Ρ sin α .
           r r Зна к мину с пока зы ва ет, что сила , вы зы ва ю щ а я
          Pt α Pn колеба тельное движение, на пра влена в сторону
              r        у меньш ения у гла α.
   r         P
  P                           Е сли у гол α ма л, то сину с можно з     а менить са мим
     Рис.2             у глом, тогда           Ρt = − Ρα = − mgα ,
                       С дру гой стороны , изрис.3 видно, что у гол α можно
                                                                    x
за писа ть черездлину ду ги x и ра диу сl :                  α= ,
                                                                   l

Страницы