Курс общей физики. Введение. Миловидова С.Д - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
т .е. относительная погрешность произведения равна сумме относительной
погрешности сомножителей.
IV. Абсолютная и относительная погрешность дроби :
Β
Α
=N ; ∆А ; ∆ B; ∆ N=?
N± ∆ N =
22
∆Β−Β
∆Β
⋅
∆Α
±
Β∆Α
±
Α∆Β
±
ΑΒ
=
∆Β±Β
∆Β
±
Β
⋅
∆Β±Β
∆Α
±
Α
.
Знак ± берем потому, что ошибка дроби будет максимальной, если
знаменатель будет минимальным .
2
Β
Β∆Α
+
Α∆Β
=∆Ν .
Α
∆Α
+
Β
∆Β
=
Α
Β
⋅
Β
Β∆Α
+
Α∆Β
=Ε
2
–
результат тот же, что и для случая произведения.
V. Абсолютная и относительная погрешность степенной функции:
N = A
n
; ∆ A; ∆ N=?
N = A·A·A·…·A – n сомножителей.
Найдем сначала Е .
Α
∆Α
=Ε n , т.к.
Ν
∆Ν
=Ε , то
∆Ν=∆ΑΑ⋅=Α
Α
∆Α
=Ν⋅Ε=∆Ν
−1nn
nn .
VI. Абсолютная и относительная погрешность корня:
n
Α
=
Ν
. Найдем ∆ N и Е как для степенной функции
N = A
1/n
Α
∆Α
=Ε
1
∆Α
Α
Α
=∆Α⋅Α=Α
Α
∆Α
=∆Ν
−
n
n
n
111
1
1
/1
.
VII. Найдем ∆ N и Е , если искомая величина есть тригонометрическая
функция измеряемой величины.
а ) Дано N=sinα ; из прмых измерений находим ∆α; необходимо
найти ∆ N -?
N± ∆ N=sin(α± ∆α)=sinα cos∆α±cosα sin∆α =sinα±cosα∆α.
Считая cos∆α =1; sin∆α≈∆α ,
∆ N= cosα · ∆α
ααα
α
α
∆=∆=Ε ctg
sin
cos
. 
                                              11


т .е. от н осит ель н а я п огрешн ост ь п роизвед ен ия ра вн а су м м е от н осит ель н ой
п огрешн ост и сом н ож ит елей.
     IV. А бсолют н а я и от н осит ель н а я п огрешн ост ь д роби:
                             Α
                              N=
                               ; ∆А ; ∆ B;    ∆ N=?
                             Β
                       Α ± ∆Α Β ± ∆Β ΑΒ ± Α∆Β ± Β∆Α ± ∆Α ⋅ ∆Β
              N± ∆ N =       ⋅        =                       .
                       Β ± ∆Β Β ± ∆Β        Β2 − ∆Β 2
        З н а к ± берем п от ом у , чт о ошибка д роби бу д ет м а ксима ль н ой, если
зн а м ен а т ель бу д ет м ин им а ль н ым .
                                               Α∆Β + Β∆Α
                                       ∆Ν =                      .
                                         Β2
                             Α∆Β + Β∆Α Β ∆Β ∆Α
                          Ε=          ⋅ =     +                          –
                                Β2     Α    Β   Α
резу ль т а т т от ж е, чт о и д ля слу ча я п роизвед ен ия .

   V.      А бсолют н а я и от н осит ель н а я п огрешн ост ь ст еп ен н ой ф у н кц ии:
                                     N = An; ∆ A; ∆ N=?
                             N = A·A·A·… ·A –n сом н ож ит елей.
        На йд ем сн а ча ла Е .
                                      ∆Α              ∆Ν
                                  Ε=n     , т .к. Ε =    , то
                                       Α               Ν
                                       ∆Α n
                        ∆Ν = Ε ⋅ Ν = n      Α = n ⋅ Α n −1∆Α = ∆Ν .
                                        Α
   VI.     А бсолют н а я и от н осит ель н а я п огрешн ост ь корн я :
                Ν = n Α . На йд ем ∆ N и Е ка к д ля ст еп ен н ой ф у н кц ии
                                             N = A1/n
                                                   1 ∆Α
                                             Ε=
                                                   n Α
                                                    1
                           1 ∆Α 1 / n 1 n −1        1 Αn
                      ∆Ν =     Α     = Α     ⋅ ∆Α =      ∆Α .
                           n Α        n             n Α

     VII. На йд ем ∆ N и Е , если искома я величин а ест ь т ригон ом ет рическа я
            ф у н кц ия изм еря ем ой величин ы.
        а ) Да н о N=sinα ; из п рмых изм ерен ий н а ход им ∆ α ; н еобход им о
н а йт и ∆ N -?
        N± ∆ N=sin(α ± ∆ α )=sinα cos∆ α ±cosα sin∆ α =sinα ±cosα ∆ α .
        С чит а я cos∆ α =1; sin∆ α ≈∆ α ,
                                           ∆ N= cosα · ∆ α
                                         cos α
                                   Ε=          ∆α = ctgα∆α .
                                         sin α

Страницы