Курс общей физики. Введение. Миловидова С.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Погрешности косвенных измерений
В большинстве случаев для получения результата надо произвести ряд
прямых измерений других величин , связанных между собой
определенными формулами. Зная погрешности, допущенные при
измерениях этих величин , входящих в формулу для определения искомого
результата, необходимо определить и погрешность самого результата.
Рассмотрим как вычисляются погрешности косвенных измерений.
I. Измеряемая искомая величина находится как сумма двух величин А
и В, найденных из опыта. Значит , тогда известны ∆А и ∆В. Найдем ∆ N.
N = A + B (1)
N = ∆ N = (A ± ∆ A) + (B ± ∆B) = A + B ± ∆ A ± ∆ B (2)
C учетом (1) из (2) получим :
± ∆ N = ± ∆ A ± ∆B.
Выбираем самый неблагоприятный случай, когда ошибка ∆N является
максимальной, тогда, суммируя ошибки, получаем :
∆ N = ±(∆ A + ∆B) –
абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей
слагаемых.
Относительная погрешность найдется по формуле:
Β
+
Α
∆Β
+
∆Α
=
∆
=Ε
N
N
Вообще говоря , здесь перед дробью должен стоять знак ± , но мы для
краткости письма в дальнейшем будем его опускать, не забывая о нем .
II. Очевидно, совершенно аналогично мы получим ∆N для случая
разности двух величин
∆N = ∆А + ∆B –
абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей
уменьшаемого и вычитаемого, и
Β
−
Α
∆Β
+
∆Α
=Ε
III. Абсолютная и относительная погрешность произведения двух
сомножителей:
Дано: N=A·B; ∆ A; ∆B;
∆ N=?; Е =?
N± ∆ N=(A± ∆ A)(B± ∆ B)=AB± A∆ B± ∆ BA± ∆ A · ∆ B, откуда
∆N = A∆ B + B∆ A ,
т .е. абсолютная ошибка произведения равна сумме произведений первого
сомножителя на абсолютную погрешность второго и второго сомножителя
на абсолютную погрешность первого сомножителя .
Α
∆Α
+
Β
∆Β
=
Β∆Α
+
Α∆Β
=Ε , 
                                            10


                      П огреш ност и косвенны х измерений

В боль шин ст ве слу ча ев д ля п олу чен ия резу ль т а т а н а д о п роизвест и ря д
п ря м ых изм ерен ий д ру гих величин , свя за н н ых м еж д у                       собой
оп ред елен н ым и ф орм у ла м и. З н а я п огрешн ост и, д оп у щ ен н ые п ри
изм ерен ия х эт их величин , вход я щ их в ф орм у лу д ля оп ред елен ия иском ого
резу ль т а т а , н еобход им о оп ред елит ь и п огрешн ост ь са м ого резу ль т а т а .
Ра ссм от рим ка к вычисля ют ся п огрешн ост и косвен н ых изм ерен ий.
I.      И зм еря ем а я иском а я величин а н а ход ит ся ка к су м м а д ву х величин А
и В, н а йд ен н ых из оп ыт а . З н а чит , т огд а извест н ы ∆ А и ∆ В. На йд ем ∆ N.

                                           N=A+B                                       (1)

                      N = ∆ N = (A ± ∆ A) + (B ± ∆ B) = A + B ± ∆ A ± ∆ B         (2)
C у чет ом (1) из (2) п олу чим :
                                        ± ∆ N = ± ∆ A ± ∆ B.
Выбира ем са м ый н ебла гоп рия т н ый слу ча й, когд а ошибка ∆ N я в ля ет ся
м а ксим а ль н ой, т огд а , су м м иру я ошибки, п олу ча ем :
                                       ∆ N = ±(∆ A + ∆ B) –
а бсолют н а я п огрешн ост ь су м м ы ра вн а су м м е а бсолют н ых п огрешн ост ей
сла га ем ых.
    От н осит ель н а я п огрешн ост ь н а йд ет ся п о ф орм у ле:
                                        ∆N ∆Α + ∆Β
                                   Ε=      =
                                         N   Α+Β
Вообщ е говоря , зд есь п еред д робь ю д олж ен ст оя т ь зн а к ± , н о м ы д ля
кра т кост и п ись м а в д а ль н ейшем бу д ем его оп у ска т ь , н е за быва я о н ем .
    II.    Очевид н о, совершен н о а н а логичн о м ы п олу чим ∆ N д ля слу ча я
           ра зн ост и д ву х величин
                                   ∆N = ∆А + ∆B               –
а бсолют н а я п огрешн ост ь ра зн ост и ра вн а су мм е а бсолют н ых п огрешн ост ей
у мен ь ша ем ого и вычит а емого, и
                                            ∆Α + ∆Β
                                      Ε=
                                             Α−Β
   III.     А бсолют н а я и от н осит ель н а я п огрешн ост ь п роизвед ен ия д ву х
            сом н ож ит елей:
                                  Да н о: N=A·B; ∆ A; ∆B;
                                          ∆ N=?; Е =?
         N± ∆ N=(A± ∆ A)(B± ∆ B)=AB± A∆ B± ∆ BA± ∆ A · ∆ B, от ку д а
                                      ∆ N = A∆ B + B∆ A ,
т .е. а бсолют н а я ошибка п роизвед ен ия ра вн а су м м е п роизвед ен ий п ервого
сом н ож ит еля н а а бсолют н у ю п огрешн ост ь вт орого и вт орого сом н ож ит еля
н а а бсолют н у ю п огрешн ост ь п ервого сом н ож ит еля .
                                   Α∆Β + Β∆Α ∆Β ∆Α
                              Ε=            =   +   ,
                                      ΑΒ      Β   Α

Страницы