Методические рекомендации и контрольные работы по дисциплине "Физика". Миловидова C.Д - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Вычислим теперь по формулам (2) и (3)
t
a и
n
a :
40,1 0,4
t
a =− ⋅ =− м/c
2
;
n
а = 04
2
⋅ ,1 = 1,6 м/c
2
.
Подставив выражения для
t
а
и
n
а
в формулу (1), определяющую модуль
полного ускорения и воспользовавшись формулами (2) и (3), получим:
24
а r
β
ω
=+, (6)
24
0,1 ( 4) 4a =−+
м/c
2
= 1,65 м/c
2
.
Направление полного ускорения определим, если найдем углы, кото-
рые вектор ускорения образует с касательной к траектории или нормалью к
ней (см. рисунок 1):
cos
α
=
а
а
t
, cos
γ
=
a
a
n
.
cos
α
= 0,4 /1,65 = 0,242, cos
γ
= 1,6/1,65 = 0,97.
По тригонометрическим таблицам находим
α
= 76
,
γ
= 14
.
Ответ: a = 1,65 м/с
2
;
α
= 76 ,
γ
= 14 .
Задача 2. Диск радиусом R = 1,5 м и массой m
1
= 180 кг вращается
по инерции вокруг вертикальной оси, делая n
= 10 об/мин. В центре диска
стоит человек массой m
2
= 60 кг. Какую линейную скорость относительно
пола будет иметь человек, если он перейдет на край диска?
Решение. Для системы человек – диск будет выполняться закон со-
хранения импульса:
(I
1
+ I
2
)
ω
⋅
= (I
1
+ I'
2
)
⋅
', (1)
где I
1
– момент инерции диска, I
2
– момент инерции человека, стоящего в
центре диска,
ω
– угловая скорость диска с человеком, стоящим в ее цен-
тре, I'
2
– момент инерции человека, стоящего на краю диска,
ω
' – угловая
скорость диска с человеком, стоящим на краю.
Величина линейной скорости человека, стоящего на краю диска, свя-
зана с угловой скоростью
соотношением V =
ω
' · R.
Используя (1), получим выражение для величины линейной скорости
V
= (I
1
+ I
2
)
ω
⋅
.
R/(I
1
+ I'
2
) . (2)
Момент инерции диска определим по формуле I
1
= (1/2)m
1
R
2
, момент
инерции человека рассчитаем по формуле, определяющей момент инерции
материальной точки массы
m
2
. Поэтому для момента инерции человека, на-
ходящегося в центре диска, I
2
= 0, а для момента инерции человека на краю
диска – I'
2
= m
2
R
2
.
Угловая скорость диска до перехода человека
ω
= 2
n. Заменив в
формуле (2) величины I
1
, I
2
, I'
2
и
ω
их выражениями, получим:
V
=
2
1
22
12
1
2
2
1
2
mR
nR
mR mR
π
⋅
+
или V =
1
12
2.
2
m
nR
mm
π
⋅
+
Вычислим теперь по формулам (2) и (3) at и an :
                         at = −4 ⋅ 0,1 = −0, 4 м/c2; а n = 4 2 ⋅ 0 ,1 = 1,6 м/c 2 .
Подставив выражения для аt и аn в формулу (1), определяющую модуль
полного ускорения и воспользовавшись формулами (2) и (3), получим:
                                      а = r β 2 + ω4 ,                                 (6)
                          a = 0,1 (−4) 2 + 44 м/c 2 = 1,65 м/c 2 .
      Направление полного ускорения определим, если найдем углы, кото-
рые вектор ускорения образует с касательной к траектории или нормалью к
ней (см. рисунок 1):
                                                 аt               an
                                    cos α =         ,   cos γ =      .
                                                 а                a
cos α = 0,4 /1,65 = 0,242, cos γ = 1,6/1,65 = 0,97.
По тригонометрическим таблицам находим α = 76 , γ = 14 .
       Ответ: a = 1,65 м/с 2 ; α = 76 , γ = 14 .
        Задача 2. Диск радиусом R = 1,5 м и массой m 1 = 180 кг вращается
по инерции вокруг вертикальной оси, делая n = 10 об/мин. В центре диска
стоит человек массой m 2 = 60 кг. Какую линейную скорость относительно
пола будет иметь человек, если он перейдет на край диска?
        Решение. Для системы человек – диск будет выполняться закон со-
хранения импульса:
                            (I 1 + I 2 ) ⋅ω = (I 1 + I' 2 ) ⋅ ω ',                     (1)
где I 1 – момент инерции диска, I 2 – момент инерции человека, стоящего в
центре диска, ω – угловая скорость диска с человеком, стоящим в ее цен-
тре, I' 2 – момент инерции человека, стоящего на краю диска, ω ' – угловая
скорость диска с человеком, стоящим на краю.
       Величина линейной скорости человека, стоящего на краю диска, свя-
зана с угловой скоростью ω соотношением V = ω ' · R.
       Используя (1), получим выражение для величины линейной скорости
                       V = (I 1 + I 2 ) ⋅ ω . R/(I 1 + I' 2 ) .                         (2)
                                                                                     2
Момент инерции диска определим по формуле I 1 = (1/2)m 1 R , момент
инерции человека рассчитаем по формуле, определяющей момент инерции
материальной точки массы m 2 . Поэтому для момента инерции человека, на-
ходящегося в центре диска, I 2 = 0, а для момента инерции человека на краю
диска – I' 2 = m 2 R2.
       Угловая скорость диска до перехода человека ω = 2 π n. Заменив в
формуле (2) величины I 1 , I 2 , I' 2 и ω их выражениями, получим:
                        1
                          m1R 2                                      m1
             V=         2             ⋅ 2π nR или V =                       ⋅ 2π nR.
                   1                                            m    + 2 m
                     m1R + m2 R
                          2         2                              1      2
                   2


                                            17

Страницы