Метасистемный подход в управлении: Монография. Миронов С.В - 49 стр.

                          dξ (t , ω ) = −αξ (t , ω )dt + m 2 dw(t , ω ),
                                                                                       (3.14)
                          ξ (0, ω ) = x 0 ,
     где
     w(t , ω ) - винеровский случайный процесс,

     α , m 2 – параметры модели, приходим к необходимости решения сле-
дующей смешанной задачи для уравнения ФПК
                           ∂W l (τ , y )
                          
                               ∂t
                                          = α
                                              ∂y
                                                ∂
                                                  yW( l
                                                        ( y , τ ) +)m2 ∂2
                                                                     2 ∂y 2
                                                                            W l ( y, τ );
                          
                           l
                          W (0, y ) = δ ( y );
                           l
                          W (τ , C l ) = W (τ , ∞ ) = 0.
                                              l

                          
                          
(3.15)
    Решение данной задачи проведено в /21/ и выражается через функцию
параболического цилиндра Dν (z ) . Подставляя его в формулу (3.13), получим
                      ∞           αν k τ  ∞        αy 2               2α 
                                           ∫ y exp −                 Dν 
                          2
           ∆Ц ср =    ∑ ck    exp −                                           
                                    2  Cl              2               m y dy ,        (3.16)
                     k =1                            2m                     
                                        (
     где ν k - корни уравнения Dν 2αC l / m 2 = 0 ,       )
     сk - нормирующий множитель вычисляется по формуле
                                                        −1 2
                        ∞         2α  
                  c k =  ∫ Dν2k    y dy  , k = 1,2, K .      (3.17)
                        c          m        
                         l              
    Определим теперь среднее время пребывания цены на продукцию в об-
ласти превышения над себестоимостью. Пусть f ρ (z ) - функция плотности ве-
роятности времени пребывания скалярного марковского процесса в заданной
области. Если в момент времени τ значения рассматриваемого случайного
процесса (цены на продукцию) еще ни разу не достигали границ области, то
время ρ их пребывания там будет не менее чем τ − t . Вероятность реализации
этого события равна
                                         ∞
                                         ∫ f ρ ( z )dz.                                (3.18)
                                       τ −t
    С другой стороны, эта же вероятность определяется через плотность ве-
роятности
                               ∞               ∞
                                ∫ f ρ ( z )dz = ∫ W (τ , y )dy .
                                                   l
                                                                                            (3.19)
                              τ −t             Cl
     Таким образом,
                                                                                                 49